Representación adjunta

En matemáticas, la representación adjunta (o acción adjunta) de un grupo de Lie ${\displaystyle G}$ es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo, considerado como un espacio vectorial. Por ejemplo, si ${\displaystyle G}$ es ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ el grupo de Lie de matrices invertibles reales n por n, entonces la representación adjunta es${\displaystyle e}$ el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n por n, siendo ${\displaystyle g}$ un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definido por ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$.

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de ${\displaystyle G}$ sobre sí mismo mediante conjugación. La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios.

Definición

Sea G un grupo de Lie y sea

${\displaystyle {\displaystyle \Psi :G\rightarrow Aut(G)}}$

ser el mapeo ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle g\rightarrow \Psi _{g}}}}$ con Aut(G) el grupo de automorfismo de ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle \Psi _{g}:G\rightarrow G}$ dado por el automorfismo interno (conjugación)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}}$

Este ${\displaystyle \Psi }$ es un homomorfismo de grupo de Lie.

Para cada ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle G}$, definido ${\displaystyle Ad_{g}}$ siendo la derivada de ${\displaystyle \Psi _{g}}$ en el origen:

${\displaystyle Ad_{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

donde ${\displaystyle d}$ es el diferencial de ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle g=T_{e}G}}}$ es el espacio tangente al origen ${\displaystyle e}$ (${\displaystyle e}$ siendo la identidad del elemento del grupo ${\displaystyle G}$). Desde ${\displaystyle \Psi _{g}}$ es un automorfismo del grupo Lie, ${\displaystyle Ad_{g}}$ es un Automorfismo álgebra de Lie; una invertible aplicación lineal de ${\displaystyle g}$ el mismo conserva el Álgebra de Lie. Además, desde que ${\displaystyle g\rightarrow \Psi _{g}}$ es un grupo homomorfismo, ${\displaystyle g\rightarrow Ad_{g}}$ también es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, el mapa

${\displaystyle {\displaystyle Ad:G\rightarrow Aut(\mathbf {g} ),g\rightarrow Ad_{g}}}$

es un representación de grupo llamado el representación adjunta de ${\displaystyle G}$.

Si ${\displaystyle G}$ es una Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie del grupo general ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ (llamado grupo de Lie lineal inmenso), entonces la álgebra de Lie ${\displaystyle {\textbf {g}}}$ consiste en matrices y de Aplicación exponencial (teoría de Lie) es la matrix exponencial ${\displaystyle \exp(X)=e^{x}}$ para matrices ${\displaystyle X}$ con peqeñas normas operativas. Nosotroa calcularemos la derivada de ${\displaystyle \Psi _{g}}$ de ${\displaystyle e}$. Para ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle G}$ y pequeña ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle \mathbf {g} }$, la curba ${\displaystyle t\rightarrow \exp(tX)}$ a derivado ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle t=0}$, uno entonces obtiene:

Bibliografía

• Fulton William; Joe Harris (1991). Teoría de la representación. Un primer curso. Textos de Posgrado en Matemáticas, Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi: 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN: 978-0-387-97495-8 MR 1153249. OCLC 246650103

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_representation» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.