Kommutoiva rengas

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat^[1]. Jos ${\textstyle R}$ on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku (${\textstyle +}$) ja kertolasku (${\textstyle \cdot }$), niin ${\textstyle R}$ on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille ${\textstyle a,b\in R}$ pätee ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.

• Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
• Jäännösluokkarengas ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\oplus ,\odot )}$ on kommutoiva kaikilla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n>1}$, sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään ${\displaystyle {\overline {a}}_{n}\odot {\overline {b}}_{n}={\overline {(ab)}}_{n}}$, missä ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$. Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös ${\displaystyle {\overline {a}}_{n}\odot {\overline {b}}_{n}={\overline {b}}_{n}\odot {\overline {a}}_{n}}$.

• Reaalisten ${\displaystyle 2\times 2}$-matriisien rengas ${\displaystyle ({\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {R} ),+,\cdot )}$ ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}}$ ja ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}}$.

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Olkoon ${\textstyle (R,+,\cdot )}$ kommutoiva rengas. Merkitään renkaan ${\displaystyle R}$ yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) ${\displaystyle 0_{R}}$:llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) ${\displaystyle 1_{R}}$:llä. Tällöin

1. Jos kaikilla ${\textstyle a,b\in R}$ ehdosta ${\displaystyle a\cdot b=0_{R}}$ seuraa, että ${\displaystyle a=0_{R}}$ tai ${\displaystyle b=0_{R}}$, niin ${\displaystyle R}$ on kokonaisalue.
2. Jos kaikilla ${\displaystyle a\neq 0_{R}}$ yhtälöllä ${\displaystyle a\cdot x=1_{R}}$ on ratkaisu ${\displaystyle x\in R}$, niin ${\displaystyle R}$ on kunta.

Jos ${\displaystyle R}$ on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$ on kokonaisalue, muttei kunta).

• Ryhmä (algebra)
• Abelin ryhmä
• Kommutaattori (matematiikka)

• Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Gaudeamus, 2015. ISBN 9789524953610.