Lemme de Krasner

En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.

Énoncé

Soit K {\displaystyle K} un corps valué complet non archimédien et soit K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} une clôture algébrique séparable de K {\displaystyle K} . Étant donné un élément α {\displaystyle \alpha } dans K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} , notons α 2 , … α n {\displaystyle \alpha _{2},\ldots \alpha _{n}} ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivante[1],[2],[3].

Lemme de Krasner — Si un élément β {\displaystyle \beta } de K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} est tel que | α − β | < | α − α i | {\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|} pour i = 2 , … , n {\displaystyle i=2,\dots ,n} , alors K ( α ) ⊆ K ( β ) {\displaystyle K(\alpha )\subseteq K(\beta )} .

Applications

  • Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent[4]. En d'autres termes, étant donné un idéal premier p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} d'un corps global L {\displaystyle L} , la clôture séparable de la complétion p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -adique de L {\displaystyle L} est égale à la complétion p ¯ {\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}} -adique de la clôture séparable de L {\displaystyle L} , où p ¯ {\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}} est un idéal premier de L ¯ {\displaystyle {\bar {L}}} au-dessus de (qui contient) p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} .
  • Une autre application consiste à prouver que C p {\displaystyle \mathbf {C} _{p}} , la complétion de la clôture algébrique de Q p {\displaystyle \mathbf {Q} _{p}} , est algébriquement clos[5],[6].

Généralisation

Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante[7]. Considérons un polynôme unitaire

f ∗ = ∏ k = 1 n ( X − α k ∗ ) {\displaystyle f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})}

de degré n > 1 {\displaystyle n>1} à coefficients dans un corps hensélien ( K , v ) {\displaystyle (K,v)} et ayant ses racines dans la clôture algébrique K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} . Soient I et J {\displaystyle J} deux ensembles disjoints non vides dont l'union est { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}} . Considérons de plus un polynôme

g = ∏ i ∈ I ( X − α i ) {\displaystyle g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})}

à coefficients et racines dans K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} et supposons que . Supposons que

v ( α i − α i ∗ ) > v ( α i ∗ − α j ∗ ) {\displaystyle v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*})} pour tout i ∈ I {\displaystyle i\in I} et tout j ∈ J {\displaystyle j\in J} .

Alors les coefficients des polynômes

g ∗ := ∏ i ∈ I ( X − α i ∗ ) {\displaystyle g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*})} et   h ∗ := ∏ j ∈ J ( X − α j ∗ ) {\displaystyle \ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})}

sont contenus dans l'extension de K {\displaystyle K} engendré par g {\displaystyle g} . (Le lemme de Krasner original correspond au cas où g {\displaystyle g} est de degré 1.)

Notes

  1. ↑ Neukirch, Schmidt et Wingberg (2008), Lemma 8.1.6.
  2. ↑ Lorenz (2008), p. 78.
  3. ↑ Dat (2012), p. 59, 4.3.4 Lemme de Krasner et applications.
  4. ↑ Neukirch, Schmidt et Wingberg (2008), Proposition 8.1.5.
  5. ↑ Neukirch, Schmidt et Wingberg (2008), Proposition 10.3.2.
  6. ↑ Lorenz (2008), p. 80.
  7. ↑ Brink 2006, Theorem 6.

Références

  • Jean-François Dat, Cours introductif de M2 : Théorie des nombres, Paris, Université Pierre et Marie Curie Master de mathématique, coll. « Master de mathématiques », 2012-2013 (lire en ligne).
  • David Brink, « New light on Hensel's Lemma », Expositiones Mathematicae, vol. 24,‎ , p. 291–306 (ISSN 0723-0869, DOI 10.1016/j.exmath.2006.01.002, zbMATH 1142.12304)
  • Falko Lorenz, Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-72487-4, zbMATH 1130.12001)
  • Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », (ISBN 3-540-21902-1, zbMATH 1159.11039), p. 206
  • Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt et Kay Wingberg, Cohomology of number fields, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften » (no 323), , 2e éd., xvi+825 (ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026, zbMATH 1136.11001).
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