Théorème de Riesz-Fischer

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En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit :

qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'espace L² ;
que l'espace L^p est complet.

Ces deux énoncés (avec p = 2 dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz^[1] et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer^[2]^,^[3] : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.

Convergence de la série de Fourier

Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction f est donnée par

S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{\mathrm {i} nx}

où F_n est le n-ième coefficient de Fourier, donné par

F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-\mathrm {i} nx}~\mathrm {d} x

alors

\lim _{n\to \infty }\left\Vert S_{n}f-f\right\|=0

où $\left\Vert \cdot \right\|$ est la norme L² qui peut s'écrire pour une fonction g

\left\Vert g\right\|={\sqrt {\int _{-\pi }^{\pi }|g|^{2}}}

Inversement, si (a_n) est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty

alors il existe une fonction f de carré intégrable telle que les a_n sont les coefficients de Fourier de f.

Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer l'égalité de Parseval pour les séries de Fourier.

Complétude de l'espace L^p

Pour tout p > 0, l'espace métrique L^p est complet. Dans le cas usuel 1 ≤ p ≤ ∞, c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si p = 2, c'est un espace de Hilbert.

On démontre au passage que pour p ≥ 1, toute suite de Cauchy dans L^p — autrement dit, a posteriori : toute suite convergente dans L^p — possède une sous-suite qui converge presque partout.

Démonstration pour p ≥ 1

Le cas p = ∞ étant immédiat (il s'agit de convergence uniforme en dehors d'un ensemble négligeable), fixons 1 ≤ p < ∞ et une suite de Cauchy (f_n) d'éléments de L^p.

Elle possède une sous-suite (g_n) vérifiant :

\forall n\in \mathbb {N} ,\quad \|g_{n+1}-g_{n}\|_{p}<2^{-n},

et il suffit, pour prouver que (f_n) converge, de montrer que (g_n) converge. Pour cela, posons

g=\sum _{n\in \mathbb {N} }|g_{n+1}-g_{n}|.

Cette fonction g est mesurable et vérifie (par convergence monotone et inégalité de Minkowski) :

\|g\|_{p}\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\|g_{n+1}-g_{n}\|_{p}<\infty .

Elle est donc finie presque partout, c'est-à-dire qu'en tout point x hors d'un certain ensemble négligeable, la série numérique $\sum _{n\in \mathbb {N} }(g_{n+1}-g_{n})(x)$ est absolument convergente, donc convergente. En dehors de cet ensemble négligeable, la suite (g_n) converge donc simplement vers une certaine fonction f qui est, de ce fait, mesurable. On conclut en remarquant que f vérifie :

\|f-g_{n}\|_{p}\leq \sum _{k\geq n}\|g_{k+1}-g_{k}\|_{p}\leq 2^{-n+1},

si bien qu'elle appartient à L^p et que la suite (g_n) converge dans cet espace.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesz–Fischer theorem » (voir la liste des auteurs).
(en) Richard Beals, Analysis: An Introduction, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 978-0-521-60047-7)
(en) John Horváth, « On the Riesz-Fischer theorem » [PDF]

↑ F. Riesz, « Sur les systèmes orthogonaux de fonctions », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 615–619.
↑ E. Fischer, « Sur la convergence en moyenne », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 1 022–1 024.
↑ E. Fischer, « Applications d'un théorème sur la convergence en moyenne », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 1 148-1 151.