| Ehhez a szócikkhez további forrásmegjelölések, lábjegyzetek szükségesek az ellenőrizhetőség érdekében. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts a szócikk fejlesztésében további megbízható források hozzáadásával. |
| Ezt a szócikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével, hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek. |
A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés:
Természetesen létezik k-adik hatványközép, azaz bárhányadik hatványú közép. A számtani, harmonikus, és négyzetes közép is felfogható hatványközépként, rendre első, mínusz egyedik, és második.
A harmonikus közép
Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában
betűvel jelöljük.
A mértani közép
Mértani vagy geometriai középértéken
szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában
-vel vagy
-mel jelöljük.
A számtani közép
Számtani vagy aritmetikai középértéken
darab szám átlagát, azaz a számok összegének
-ed részét értjük. A számtani közepet általában
betűvel jelöljük:
A négyzetes közép
Négyzetes középértéken
darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában:
.
A közepek közötti összefüggések
![{\displaystyle H(a_{1};...;a_{n})\leq G(a_{1};...;a_{n})\leq A(a_{1};...;a_{n})\leq N(a_{1};...;a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fdbf34f411ffa371fd0727ff31fd66547ae2d98)
ahol
A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)
A közepek „mértékei” megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.
Számtani közép
A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú.
Az ábrán:
Bizonyítás
Az ábrán
a trapéz tulajdonságai miatt.
szakasz középvonal
háromszögben, ezért hossza:
, ugyanezért
. Tehát
hossza:
Harmonikus közép
A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú.
Az ábrán:
Bizonyítás
Az ábrán
hasonló
-hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát:
, akkor
. Az
háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét:
. Innen:
. Ezt
-vel is elvégezve adódik:
.
Négyzetes közép
Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú.
Az ábrán:
Bizonyítás
Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy
hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát
és
háromszögekben az alapok aránya:
. A területek aránya:
Vagyis:
Innen:
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:
Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza:
.
Mértani közép
Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú.
Az ábrán:
Bizonyítás
Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha
, akkor
.
Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya
. A magasságok aránya:
. (x helyébe beírtuk a
-t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a területek aránya:
(az előző bizonyításból). Vagyis
helyébe beírva
-t:
Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza
.
A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)
Az ábra magyarázata:
felezőpontja
, ami az
átmérőjű kör középpontja.
az
-ba állított merőleges és a kör metszéspontja.
a kör érintője, ahol
az érintési pont.
-ből a
egyenesre állított merőleges talppontja
.
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha
szakasz hossza
, illetve
szakaszé
, akkor
szakasz hossza
és
harmonikus közepe,
szakasz hossza
és
mértani közepe,
szakasz
és
számtani közepe és
és
négyzetes közepe.
Bizonyítás
-ről könnyen belátható, hogy
hosszú, hisz a
pont körre vonatkoztatott hatványa alapján
. Innen
.
hosszát kiszámíthatjuk az
és
összegeként. ![{\displaystyle OB=OC+CB={{a-b} \over 2}+b={{a+b} \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3aa6de86b0d0284b1e486ff92ad9ae1a494da6)
hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az
háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével.
, vagyis ![{\displaystyle DB={\sqrt {OD^{2}+OB^{2}}}={\sqrt {({{a+b} \over 2})^{2}+({{a-b} \over 2})^{2}}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449c118bf56f5fe0fc6c0ddff28d5e05b0ceb535)
hossza a
háromszögből Befogótétellel kiszámítható. A tétel szerint
. Innen ![{\displaystyle TB={{EB^{2}} \over {OB}}={{ab} \over {{a+b} \over 2}}={{2ab} \over {a+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd9f81993c3eefbbec38016194cacd06fd415c1)
Kapcsolódó szócikkek
Források
- Definíciók
- Geometriai szemléltetés (kör)
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap