![曖昧さ回避](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png) | 中心極限定理については「ド・モワブル=ラプラスの定理(英語版)」をご覧ください。 |
ド・モアブルの定理(ド・モアブルのていり、英: de Moivre's theorem; ド・モアブルの公式(ド・モアブルのこうしき)ともいう)とは、複素数(特に実数)θ および整数 n に対して
![{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c64ddb01517848cd8e106cff324f7a88565703)
が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない[1]。数学的帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。
実数 θ と正の整数 n に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、n倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n倍角の公式を内在的に含んでいる。
オイラーの公式:
より、ド・モアブルの定理は複素指数函数についての指数法則の一つ:
![{\displaystyle (e^{i\theta })^{n}=e^{in\theta }\quad (\theta \in \mathbb {C} ,\,n\in \mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c88ca9943c885297c3d8a3ff7963bdc6e1e2894)
が成り立つことを意味している。
証明
数学的帰納法による証明
証明 —
1. まず、n ≥ 0 について成り立つことを、数学的帰納法により証明する。
[i] n = 0 のとき
- (左辺)
![{\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106f8510d1e4314dd3c032327a8ca8020bc92566)
- (右辺)
![{\displaystyle =\cos 0+i\sin 0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd606910a22c520821cce36c2ec35e62c32c455)
よって n = 0 のときに本定理は成立する。
[ii] n − 1 のとき、すなわち
![{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}=\cos(n-1)\theta +i\sin(n-1)\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ce706a54f3536597de8c25ae24166f2b61d98b)
が成り立つと仮定すると
[注 1]
ゆえに、n のときも本定理は成立する。
よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。
2. 続いて n < 0 の場合を、1. を利用して証明する。
n < 0 のとき、n = −m とおくと、m は自然数である。
1. の結果より、m については定理の等式が成り立つから、
[注 2]
ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。
したがって、1、2 より、任意の整数 n に対して、本定理が成り立つ[2]。 (Q.E.D.)
複素数の積の性質による証明
証明 — 複素数の積の性質を用いても導出できる。θ, φ ∈ C に対して
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )&=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )+i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\&=\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8832b2b0ce3abe260e7c30e631dc4a795626c0)
が成り立つ[注 3]。よって帰納的に
![{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c64ddb01517848cd8e106cff324f7a88565703)
が分かる[3]。 (Q.E.D.)
オイラーの公式による証明
証明 — オイラーの公式
(θ は複素数)
ならびに複素指数関数の指数法則を用いても証明できる。n を整数として、この式の両辺を n 乗すれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(e^{i\theta })^{n}\\&=e^{in\theta }\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdf9952670cde5d79fe379380690a86d73c20f2)
したがって
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c82d6a2bad8ea7fe35d283b212fdb7824c272a)
が得られる[4]。 (Q.E.D.)
指数が非整数の場合
ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る(多価関数)からである(冪乗#指数・対数法則の不成立参照)。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。
θ を実数、w を複素数とすると
(n は整数)
である。したがって、w が整数であれば
![{\displaystyle \{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp(iw\theta )\cdot 1=\cos(w\theta )+i\sin(w\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3877ec0a2368ab6cf9ea96036f28d187d9f84209)
という 1 つの値を取るが、w が整数でないときは
を含む複数の値を取ることになる。
{exp(iθ)}w の値の取り方について、w が有理数であれば、w = a/b (a, b は互いに素)と表すと、2nwπ = 2π × na/b であるから、n = 0, 1, …, b − 1 で循環し、b 個の値を取る。w ∉ Q(無理数または虚数)ならば循環せず、可算無限個の値を取る。
適用例
- 虚数単位の累乗
- n を整数とすると、
![{\displaystyle i^{n}=(0+i)^{n}=\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)^{n}=\cos {\frac {n\pi }{2}}+i\sin {\frac {n\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66a830f550adc6f2eb9c21fd23e125cc6c6f598)
- n が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。
- 1の冪根
- n を 2 以上の自然数とするとき、zn = 1 を満たす z を求める。
- z の極形式を z = r(cos θ + i sin θ)(r ≥ 0, θ は実数)とする。
![{\displaystyle {\begin{aligned}z^{n}&=\{r(\cos \theta +i\sin \theta )\}^{n}\\&=r^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a221fe66b14447c9192a05fdd5966debe10e754)
![{\displaystyle \therefore r^{n}=1,\ n\theta =2\pi k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bddf1013cf6e3a08f30cbdbd0fc87f1637bffa8)
![{\displaystyle \therefore r=1,\ \theta ={\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19267e7343d0ea86561f1b8e05706720ed76c834)
![{\displaystyle \therefore \ z=\cos {\frac {2\pi }{n}}k+i\sin {\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)\quad \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08dfa600d0cc0e31606aacc8d4e8b5d0076c2c15)
関連項目
脚注
[脚注の使い方]
注釈
- ^ 等式の整理に加法定理を利用した。
- ^ 等式の整理に三角関数の負角公式を利用した。
- ^ これは変数を実数と考えると、複素平面の単位円上、偏角 θ の複素数に偏角 φ の複素数を掛けると偏角が θ + φ になることを意味する。
参照
- ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (4th ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 792. ISBN 9780321497444
- ^ ド・モアブルの定理
- ^ 2013年度「代数学基礎」, pp.57–60
- ^ ド・モアブルの公式とオイラーの公式 - 九州工業大学工学部 教授 鎌田 裕之
外部リンク