Formule van Stirling

De formule van Stirling is een benadering voor de faculteit van grote getallen. De formule luidt:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Dit betekent ruwweg dat het rechterlid voor voldoende grote ${\displaystyle n}$ als benadering geldt voor ${\displaystyle n!}$. Om precies te zijn:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}$

De formule is het resultaat van de eerste drie termen uit de ontwikkeling:

${\displaystyle \ln(n!)=n\ln(n)-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\ldots }$

De formule komt ook voor met alleen de eerste twee termen:

${\displaystyle \ln(n!)\sim n\;\ln(n)-n}$,

wat asymptotisch op hetzelfde neerkomt.

De formule werd ontdekt door De Moivre in een iets andere vorm, namelijk:

${\displaystyle n!\sim c\;{\sqrt {n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

James Stirling, naar wie de formule genoemd is, toonde aan dat de constante ${\displaystyle c}$ gelijk is aan ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$.

Enkele waarden

In de onderstaande tabel staan ter vergelijking voor enkele waarden van ${\displaystyle n}$ de relevante grootheden opgesomd.

n	ln(n!)	n ln(n) − n	fout
10	15,1	13,0	13,9%
30	74,7	72,0	3,6%
50	148,5	145,6	1,9%
100	363,7	360,5	0,9%
1000	5912,1	5907,8	0,1%
10000	82108,9	82103,4	< 0,01%

Toepassingen

De formule is in praktijk belangrijk voor veel toepassingen in de statistische fysica, de thermodynamica en in de scheikunde (thermochemie).