Algebra centralna prosta

Algebra centralna prosta (algebra Brauera, z ang. również CSA) nad ciałem ${\displaystyle K}$ – skończeniewymiarowa prosta algebra łączna, której centrum jest ${\displaystyle K.}$ Innymi słowy, każda algebra prosta jest algebrą centralną prostą nad swoim centrum. Nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska Richarda Brauera.

Przykłady

• Liczby zespolone ${\displaystyle \mathbb {C} }$ tworzą algebrę centralną prostą nad sobą, ale nie nad liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (centrum ${\displaystyle \mathbb {C} }$ są wszystkie elementy ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ a nie tylko ${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Kwaterniony ${\displaystyle \mathbb {H} }$ są czterowymiarową algebrą centralną prostą nad ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Pojęcia

Zgodnie z twierdzeniem Artina-Wedderburna algebra prosta ${\displaystyle A}$ jest izomorfczna z algebrą macierzy ${\displaystyle M(n,S)}$ dla pewnego pierścienia z dzieleniem ${\displaystyle S.}$ Dane dwie algebry proste ${\displaystyle A\simeq M(n,S)}$ oraz ${\displaystyle B\simeq M(m,T)}$ nad tym samym ciałem ${\displaystyle K}$ nazywa się podobnymi (równoważnymi w sensie Brauera), jeżeli ich pierścienie z dzieleniem ${\displaystyle S}$ oraz ${\displaystyle T}$ są izomorficzne. Zbiór wszystkich klas równoważności algebr centralnych prostych nad ciałem ${\displaystyle K,}$ ze względu na wspomnianą relację równoważności, może być wyposażony w działanie grupowe dane przez iloczyn tensorowy algebr. Otrzymana grupa nazywana jest grupą Brauera ${\displaystyle \operatorname {Br} (K)}$ nad ciałem ${\displaystyle K.}$

Własności

• Każdy automorfizm algebry centralnej prostej jest automorfizmem wewnętrznym (wynika z twierdzenia Skolema-Noether).
• Jeżeli ${\displaystyle S}$ jest prostą podalgebrą algebry centralnej prostej ${\displaystyle A,}$ to ${\displaystyle \dim _{F}S}$ dzieli ${\displaystyle \dim _{F}A.}$
• Każda czterowymiarowa algebra centralna prosta nad ciałem ${\displaystyle K}$ jest izomorficzna z algebrą kwaternionów; faktycznie, jest to albo algebra macierzy wymiaru ${\displaystyle 2\times 2}$ albo algebra z dzieleniem.