Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca[1] do mechaniki kwantowej, sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.
- tzw. ket, zapisywany „
”, oznacza wektor
w zespolonej przestrzeni liniowej
(zwykle przestrzeni Hilberta); fizyczna interpretacja to stan kwantowy pewnego układu.
- tzw. bra, zapisywane „
”, oznacza funkcjonał liniowy
na przestrzeni (gdy
jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).
Działanie funkcjonału
na wektorze
zapisywane jest jako
Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu
Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym
prawie 100 lat wcześniej.
Przestrzeń wektorowa
Wstęp
Osobny artykuł: Przestrzeń wektorowa.
Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor
w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy:
Wektor
może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}=A_{1}{\vec {e}}_{1}+A_{2}{\vec {e}}_{2}+A_{3}{\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc0b937d1f450865104279998cf3084128f3379)
gdzie wektory
są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby
to odpowiadające im współrzędne.
W ogólności kiedy wektor
znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem
(gdzie
to np.
lub
), wektor
jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:
![{\displaystyle {\vec {A}}=\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a466a28925795a9d04d1d2aa4536fff7392245)
Jednak
może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń
.
Notacja ket
Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów:
Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako
![{\displaystyle |A\rangle =A_{1}|e_{1}\rangle +A_{2}|e_{2}\rangle +A_{3}|e_{3}\rangle ={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ffae26f38e871edfad1f7c95d1f52e3268159a)
co można zapisać w skrócie
![{\displaystyle |A\rangle =A_{1}|1\rangle +A_{2}|2\rangle +A_{3}|3\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a5540fae46f0cd84f345648e8deb80345951b3)
gdzie
oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe
Iloczyn skalarny i notacja ket
Osobny artykuł: iloczyn skalarny.
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego
![{\displaystyle \langle A|B\rangle ={\text{iloczyn skalarny bra }}\langle A|{\text{ z ket }}|B\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7afb705d6ec14974125b255221a7689bfe9426)
W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń
)
![{\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+A_{3}^{*}B_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16491d4d74424d6fa02f4a708359f036996353c0)
gdzie
oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy
iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora
![{\displaystyle \langle A|A\rangle =|A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+|A_{3}|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9befaf7d4ef5b9e8e1ad83dde4050697e749adc4)
W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”
![{\displaystyle \langle A|B\rangle =\left(\,\langle A|\,\right)\,\,\left(\,|B\rangle \,\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1450ea3072d207495d567ddc5b67df63d0c5e2d2)
gdzie
nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a
to ket.
Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.
Bra i kety jako macierze
Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci
![{\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\ldots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2773fba315540c6dbf4be829bedb53fa9884f4)
Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:
![{\displaystyle \langle A|={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3937420116b6bf934618f67ede2f667fb7e1d490)
Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:
![{\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4ef8694092e0c72d508ebd8c1b0ae14c6bfaa5)
ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\ldots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5f202bbdd841caa7874cd306e41a63f7e9d3c7)
otrzyma się:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497ac2e809bd238215ae8a717240e09712fc2a83)
Bra jako operator liniowy na ket
Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.
Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.
Zastosowanie w mechanice kwantowej
Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:
- Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie
”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c
odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c). - Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu
jest superpozycją stanów
i ![{\displaystyle |2\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2839b8938fbb82d98d549f5cd44c70e832c967de)
- Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
- Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.
Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:
Oznaczenia w notacji Diraca
- wektory bazowe oznacza się:
gdzie ![{\displaystyle n=0,1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99580445ed79706da85cff54455ccb3b168b7d8e)
- wektory bazowe sprzężone hermitowsko:
oraz ![{\displaystyle (\langle n|)^{+}=|n\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088632bcc0aa1168f20d2ce88de3b4e22ab83134)
- iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej
i wektorów z bazy ![{\displaystyle {\hat {S}}=(|0\rangle ,|1\rangle ){:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45cd2bd5864cd3657772d7a8c6daa5cca4b10466)
![{\displaystyle \langle 0|0\rangle =\langle 1|1\rangle =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b8e76fd42e5afa413c1902fc97d102d1ff84cb)
![{\displaystyle \langle 0|1\rangle =\langle 1|0\rangle =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7216a84a8efea8a104bdd5b2aaf556fc749abd1f)
- iloczyn tensorowy wektorów bazowych:
![{\displaystyle |m\rangle |n\rangle =|mn\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c8503744f8ec6eb530f42432c2b574a3594320)
![{\displaystyle |m\rangle \langle n|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d4a3f5558c4bc79d7be31ce930ed98e7eb31e4)
![{\displaystyle |m\rangle \wedge |n\rangle =-|n\rangle \wedge |m\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dac52c735865cfc944e0419287a1750525e5657)
![{\displaystyle \langle m|\wedge \langle n|=-\langle n|\wedge \langle m|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f8b2a51ae7312d4621bfe5fd4d18f396d35815)
- sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:
![{\displaystyle (|mn\rangle )^{+}=\langle mn|=\langle n|\langle m|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5d0b04549266a56233c4679b4f879b7a695cd0)
![{\displaystyle (|m\rangle \langle n|)^{+}=|n\rangle \langle m|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673845d2a3d8cd57d266f05b899521e3173a7bc5)
- wektor o współrzędnych
zapisany w bazie ![{\displaystyle {\hat {S}}^{+}=(|0\rangle ,|1\rangle )^{+}{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1de34c0d3439d03412db15d8c709e7fdb99e582)
![{\displaystyle \langle v|=v_{0}\langle 0|+v_{1}\langle 1|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bede352c99e35e4cb3e56a712447f29da8d3b8)
- Inne wektory bazowe można oznaczyć
na przykład:
![{\displaystyle |0'\rangle =|0\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7457c614c62439f4ac9365555a979fd16afb504)
![{\displaystyle |1'\rangle =|0\rangle +q|1\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4f29488836363c778d9ac8ef5e8c5ddce8eb35)
![{\displaystyle \langle 0'|=\langle 0|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25ed510c18e2fceebdd4ce7c74c37032593eb80)
![{\displaystyle \langle 1'|=\langle 0|+q^{*}\langle 1|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5be19d2c0cd8f5038cde02eeb30ff00ed5642a3)
- Operatory (macierze) oznacza się
na przykład operator jednostkowy:
![{\displaystyle {\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08a7bc4992bc898826f6635481db6b89363926f)
- Operator rzutowy
![{\displaystyle {\hat {P}}{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc741eaf553edee9005258f25c8e01417a25a692)
![{\displaystyle {\hat {P}}{\hat {1}}=|0\rangle \langle 0|(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)=|0\rangle \langle 0|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60551ad5d2ec280b874cc5e32489fe59dd32a64a)
Przypisy
- ↑ PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics. „Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 35 (3), s. 416–418, 1939. DOI: 10.1017/S0305004100021162.
Linki zewnętrzne
- Notacja Diraca
- J.H. Przytycki, Płaszczyzna kwantowa i q-wielomian drzew z korzeniem, arxiv.org/1512.03080.
Tło | |
---|
Koncepcje podstawowe | |
---|
Doświadczenia | |
---|
Sformułowania | |
---|
Równania | |
---|
Interpretacje | - świadomość wywołuje kolaps
- spójne historie kwantowe
- kopenhaska
- statystyczna
- zmiennych ukrytych
- wielu światów
- logika kwantowa
- obiektywnego załamania
- prawdopodobieństwo kwantowe
- relacyjna
- stochastyczna
- transakcjonalna
|
---|
Zagadnienia zaawansowane | |
---|
Znani uczeni | |
---|
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Quantum_intro_pic-smaller.png/100px-Quantum_intro_pic-smaller.png)
![{\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8408e8298f892f8bf9b6b547814f3093c468040e)
Wektory i działania na nich | |
---|
Układy wektorów i ich macierze | |
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów | |
---|
Przestrzenie liniowe | |
---|
Iloczyny skalarne | |
---|
Pojęcia zaawansowane | |
---|
Pozostałe pojęcia | |
---|
Powiązane dyscypliny | |
---|
Znani uczeni | |
---|