Operator całkowicie ciągły

Operator całkowicie ciągły (albo operator Dunforda-Pettisa) – operator liniowy ${\displaystyle T:X\to Y}$ między przestrzeniami Banacha ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ o tej własności, że dla każdego słabo zbieżnego ciągu ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ elementów przestrzeni ${\displaystyle X}$ ciąg wartości ${\displaystyle (Tx_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest zbieżny w sensie normy przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ Operatorami całkowicie ciągłymi w kontekście przestrzeni ℓ₂ i L₂ zajmował się David Hilbert^[1] (każdy operator całkowicie ciągły na przestrzeni Hilberta jest zwarty). Ogólniejsze ujęcie pochodzi od Frigyesa Riesza^[2] i Stefana Banacha^[3].

Terminologia

W literaturze dotyczącej teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta, przez pojęcie operator całkowicie ciągły niektórzy autorzy^[4][5] rozumieją operator zwarty, tj. operator o tej własności, że obrazy zbiorów ograniczonych są relatywnie zwarte. Dla operatorów działających między przestrzeniami Hilberta pojęcia te są równoważne jednak są one istotnie różne w przypadku operatorów działających między ogólniejszymi przestrzeniami Banacha.

Własności

• Każdy operator całkowicie ciągły jest ograniczony oraz odwzorowuje słabe ciągi Cauchy’ego w ciągi zbieżne w sensie normy^[6]. Istotnie, niech ${\displaystyle T:X\to Y}$ będzie całkowicie ciągłym operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha. Ponadto, niech ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będzie słabym ciągiem Cauchy’ego w ${\displaystyle X,}$ który nie jest zbieżny w normie. Istnieją wówczas ${\displaystyle \delta >0}$ oraz ściśle rosnące ciągi liczb naturalnych ${\displaystyle (n_{k})_{k=1}^{\infty },(m_{k})_{n=1}^{\infty }}$ o tej własności, że dla wszystkich ${\displaystyle k}$ zachodzi

${\displaystyle {}\,\,{}\quad \|Tx_{n_{k}}-Tx_{m_{k}}\|\geqslant \delta .}$

(1)

Z drugiej jednak strony, ciąg ${\displaystyle (x_{n_{k}}-x_{m_{k}})_{k=1}^{\infty }}$ jest słabo zbieżny do zera, a więc z założenia o tym, że T jest całkowicie ciągły wynika, że

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|Tx_{n_{k}}-Tx_{m_{k}}\|=0;}$

co prowadzi do sprzeczności z (1)^[6].

• Każdy operator zwarty jest całkowicie ciągły^[7]. Istotnie, niech ${\displaystyle T:X\to Y}$ będzie operatorem zwartym między przestrzeniami Banacha. Gdyby ${\displaystyle T}$ nie był całkowicie ciągły, to istniałby taki słabo zbieżny do zera ciąg ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ciąg ${\displaystyle (Tx_{n})_{n=1}^{\infty }}$ nie jest zbieżny do zera. Ze zwartości wynika jednak, że ciąg ${\displaystyle (Tx_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ma podciąg zbieżny do pewnego (niezerowego) elementu ${\displaystyle y}$ przestrzeni ${\displaystyle Y;}$ element. Ponieważ ciąg ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest słabo zbieżny do zera, ze (słabej) ciągłości ${\displaystyle T}$ wynika, że również ciąg ${\displaystyle (Tx_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest słabo zbieżny do zera. Oznacza to, że ${\displaystyle y=0;}$ sprzeczność^[7].
• Operator identycznościowy na przestrzeni Banacha jest całkowicie ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ta ma własność Schura.

Struktura ideału operatorowego

Rodzina ${\displaystyle {\mbox{Cc}}}$ wszystkich operatorów całkowicie ciągłych między dowolnymi przestrzeniami Banacha tworzy ideał operatorowy w sensie Pietscha. W szczególności, rodzina ${\displaystyle {\mbox{Cc}}(X)}$ operatorów całkowicie ciągłych na danej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ tworzy domknięty ideał w algebrze wszystkich operatorów ograniczonych na ${\displaystyle X.}$

Własność Dunforda-Pettisa

Przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$ ma własność Dunforda-Pettisa (DPP), gdy dla dowolnej przestrzeni Banacha ${\displaystyle Y}$ każdy operator słabo zwarty ${\displaystyle T:X\to Y}$ jest całkowicie ciągły. Żadna nieskończenie wymiarowa przestrzeń refleksywna ${\displaystyle X}$ nie ma własności Dunforda-Pettisa ponieważ każdy operator ograniczony ${\displaystyle T}$ na ${\displaystyle X}$ (w tym identyczność) jest słabo zwarty. Przykładami przestrzeni mającymi własność DPP są przestrzenie ℓ₁, L₁[0,1] oraz przestrzenie ${\displaystyle C(K)}$ funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z normą supremum.

Przypisy

Bibliografia

• George Bachman, Lawrence Narici: Functional Analysis. Wyd. 2. Dover Publications, 1998, seria: Dover Books on Mathematics.
• Israel Gelfand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions, Volume 4: Applications of Harmonic Analysis. Academic Press, 1964.
• Albert Pietsch: Operator Ideals. Amsterdam: North-Holland, 1980, s. 47, 51.