Pierścień z jedynką – pierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.
Jedynka pierścienia
oznaczana jako
spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać
dla każdego elementu
pierścienia ![{\displaystyle R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcae6b33a27f86c7961318cd7ee3d789d3bcdd2)
Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to
Jeśli
jest homomorfizmem pierścieni z jedynką i
jest jedynką pierścienia
to
jest jedynką pierścienia
W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).
Dołączanie jedynki do pierścienia
Dowolny pierścień
można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim
zdefiniować dwa działania:
![{\displaystyle (n_{1},r_{1})+(n_{2},r_{2})=(n_{1}+n_{2},r_{1}+r_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86bfee0a7040a51e3e3ca92ccc49b9269a7ba0b5)
![{\displaystyle (n_{1},r_{1})\cdot (n_{2},r_{2})=(n_{1}n_{2},n_{1}r_{2}+n_{2}r_{1}+r_{1}r_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc08cfd7e2d7e1ef3bc5a6dffeb261ebf9994573)
Łatwo sprawdzić, że struktura
z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz że para
jest jego jedynką.
Łatwo również zauważyć, że zbiór
![{\displaystyle \{(0,r):r\in R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a8be535128fdb62343a7fa2916f8a4ac310fc4)
jest podpierścieniem pierścienia
izomorficznym z
Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie
w
Pierścień
jest przy tym ideałem pierścienia
Jeśli oznaczyć
jako
to
gdzie
oraz
można zapisać w postaci
Zobacz też