Pole tensorowe

Pole tensorowe – pole, które każdemu punktowi przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej przypisuje pewien tensor^[1]. Pole tensorowe jest opisywane przez ${\displaystyle N=n^{r}}$ funkcji o ${\displaystyle n}$ zmiennych, gdzie ${\displaystyle r}$ – rząd tensora, czyli liczba jego indeksów.

Oznaczenia pól tensorowych

Funkcje, za pomocą których opisuje się pole tensorowe, zazwyczaj oznacza się symbolami z ciągiem indeksów, np. w postaci

${\displaystyle A^{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}},}$ ${\displaystyle {}\quad \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}=1,\dots ,n}$

gdzie ${\displaystyle r}$ – jest rzędem tensora. Liczba funkcji wynosi ${\displaystyle N=n^{r}.}$

Wartości ${\displaystyle A^{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}(x_{1},\dots ,x_{r})}$ funkcji pola tensorowego w danym punkcie ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ przy ustalonych wartościach indeksów nazywa się współrzędnymi tensora w tym punkcie.

Np. w przestrzeni ${\displaystyle 3}$-wymiarowej tensor 2. rzędu jest reprezentowany przez zespół ${\displaystyle n^{r}=3^{2}=9}$ funkcji postaci ${\displaystyle A^{\alpha _{1},\alpha _{2}}(x,y,z),}$ które mają ${\displaystyle 2}$ indeksy; funkcje te reprezentuje się zazwyczaj za pomocą macierzy ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} (x,y,z)&={\begin{bmatrix}A^{11}(x,y,z)&A^{12}(x,y,z)&A^{13}(x,y,z)\\A^{21}(x,y,z)&A^{22}(x,y,z)&A^{23}(x,y,z)\\A^{31}(x,y,z)&A^{32}(x,y,z)&A^{33}(x,y,z)\end{bmatrix}}\end{aligned}},}$

a np. wartość ${\displaystyle A^{1,2}(x,y,z)}$ jest współrzędną 1,2 tensora w punkcie ${\displaystyle (x,y,z).}$

Szczególne przypadki pól tensorowych

• pola skalarne – pola, które punktom przestrzeni przypisują pojedyncze liczby (tensor zerowego rzędu jest skalarem)
• pola wektorowe – pola, które punktom przestrzeni przypisują wielkości wektorowe (tensor pierwszego rzędu jest wektorem)

Twierdzenia

Tw. 1: Pole gradientu pola skalarnego jest polem wektorowym.

Tw. 2: Pole pochodnych cząstkowych pola wektorowego jest polem tensorowym (w niekrzywoliniowym układzie współrzędnych).

Zobacz też

Zagadnienia związane z pojęciem pola tensorowego

• iloczyn skalarny
• iloczyn tensorowy
• iloczyn wektorowy
• teoria pola
• współrzędne tensora

Przykłady tensorów

• tensor energii-pędu
• tensor metryczny
• tensor naprężeń
• tensor pola elektromagnetycznego

Przypisy

Bibliografia

• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.