Powinowactwo osiowe

Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

Definicja

Powinowactwo osiowe f {\displaystyle f} o osi k {\displaystyle k} jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta k {\displaystyle k} jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne f {\displaystyle f} na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi k , {\displaystyle k,} jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej k {\displaystyle k} i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi k . {\displaystyle k.}

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi k : {\displaystyle k{:}} dowolny punkt A {\displaystyle A} i jego obraz punkt A ′ . {\displaystyle A'.}

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba s {\displaystyle s} spełniająca warunek: A P ′ A ′ → = s ⋅ A P A → , {\displaystyle {\vec {A_{P}'A'}}=s\cdot {\vec {A_{P}A}},} gdzie punkty A P {\displaystyle A_{P}} i A P ′ {\displaystyle A'_{P}} są rzutami prostokątnymi punktu A {\displaystyle A} i jego obrazu A ′ {\displaystyle A'} na oś k . {\displaystyle k.}

Własności

  • Dla dowolnych punktów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} niebędących punktami stałymi powinowactwa osiowego f {\displaystyle f} proste A f ( A ) {\displaystyle Af(A)} i B f ( B ) {\displaystyle Bf(B)} są równoległe.
  • Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy ( A = A ′ ) , {\displaystyle (A=A'),} to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
  • Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa k . {\displaystyle k.}
  • Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa k {\displaystyle k} i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k {\displaystyle k} i wektor powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa k , {\displaystyle k,} kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa s {\displaystyle s} różny od 1.

Niezmienniki

  • stosunek długości równoległych odcinków
  • stosunek podziału wektora
  • stosunek pól figur

Fakty

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

  • powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
  • powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
  • symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
  • symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz też

Bibliografia

  • Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.