Równanie różniczkowe zupełne – równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci[1]:
![{\displaystyle P(x,y)+Q(x,y)\cdot {\frac {dy}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e599c2d5a6a45afc05e5983174b81be82af9c6)
w którym
– funkcje ciągłe w pewnym obszarze
i takie, że wyrażenie
jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze
funkcji dwóch zmiennych
Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja
że w każdym punkcie obszaru
zachodzą następujące związki:
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=P(x,y),\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}=Q(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0f2783b8a81040a4753f252fd6e4137e080dd3)
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie
było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym
jest spełnienie równości:
![{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0f98a5ece7ce1acaa3e9e1348ffdd107751a1e)
Przykład
![{\displaystyle (\cos x-x\sin x)y\,dx+(x\cos x-2y)\,dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8582d66c8b89b9156eee7b2ca20a8879f330db)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\partial P}{\partial y}}=\cos x-x\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91da462351844d457f07ea8471a1e3cfb127619)
![{\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}=\cos x-x\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4581c0dd9692c416e6abde36aa29bc14a0016aa)
Zatem
czyli istnieje
taka, że:
| | ![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=(\cos x-x\sin x)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b087b64bb1df2595ecd6504309973b340fa7413) | | (1) |
| | ![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=x\cos x-2y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e8b84df2350f60c566d8073125599837536087) | | (2) |
Przekształcając jedno z powyższych równań (np. (2)) otrzymujemy:
![{\displaystyle F(x,y)=\int (x\cos x-2y)dy=yx\cos x-y^{2}+\phi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e2886c238eaec982281f9204b28b7fab4474bd)
Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=y(\cos x-x\sin x)+\phi '(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2cacd7a935d6c924203abccc470824f3975c27)
z równania (1)
stąd:
![{\displaystyle \phi '(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e88317d771871e2c51df8588e557ddf33436e4)
zatem:
![{\displaystyle \phi (x)=C_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eff674a108d4315915e023a691b75c1e4c73f60)
czyli:
![{\displaystyle F(x,y)=xy\cos x-y^{2}+C_{1}=C_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343ffa9afe78d1fa1ced1272fd3107d859b979f4)
i upraszczając:
gdzie
to stała.
Przypisy
- ↑ В.И.Смирнов, "Курс высшей математики", tom II, Гос. Издат. Тех-теор. литературы, Москва 1951