Suma prosta przestrzeni liniowych – przestrzeń liniowa
powstała poprzez pewnego rodzaju sumowanie przestrzeni liniowych
![{\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be17dc8716c752591819283e5fd12fb799b6117)
To jakiego rodzaju jest to sumowanie zależy od kontekstu. W przypadku gdy
piszemy również
![{\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600652344af01b4ee366a43f2a9d4a12c34f2646)
Przykładowo
może być uważane za sumę prostą
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \oplus \ldots \oplus \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a1a55495290819f43bda4f8ee7ec460c4a2dab)
n kopii
Suma prosta to z jednej strony narzędzie analizowania przestrzeni liniowych, a z drugiej strony – bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych.
Zewnętrzna suma prosta
Definicja
Niech
będzie dowolnym zbiorem. Załóżmy, że mamy daną rodzinę przestrzeni liniowych
nad tym samym ciałem
Rozpatrzmy funkcje postaci
![{\displaystyle f:I\to \bigcup _{i\in I}V_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91d0034d9c73db55857fe5895dbc19e6299d8e1)
takie, że
Nośnikiem
nazwiemy zbiór
![{\displaystyle \mathrm {supp} f:=\{i\in I;\ f(i)\neq 0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701837ed064e3f5fa531f06c2fda02c5b3aee488)
Zbiór funkcji tej postaci o skończonym nośniku nazywamy (zewnętrzną) sumą prostą przestrzeni liniowych
i oznaczamy
![{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}\quad \mathrm {lub} \quad \bigsqcup _{i\in I}V_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425d6724ff471b2916979986330841d9374c99c7)
Uwagi do definicji
(1) Elementy zbioru
interpretujemy jako indeksy.
(2) Gdy
to elementami
są nieskończone ciągi postaci
![{\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3},\dots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a6f2b174e2f200b0b8ded198edb38e90aed4a7)
gdzie
które mają jednakowoż skończoną liczbę niezerowych wyrazów.
(3) Gdy
to elementami
są skończone ciągi postaci
![{\displaystyle (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3b382fac0c9a7076af914ab643123d85b6752d)
Piszemy wówczas także
![{\displaystyle V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac24a73a7abdb63f45f34c7cca42e3483fbb823)
(4) (Zewnętrzna) suma prosta to bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych (patrz: Struktura przestrzeni liniowej).
Struktura przestrzeni liniowej
W (zewnętrznej) sumie prostej
możemy wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo
![{\displaystyle (f+g)(i):=f(i)+g(i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ba61f4ed6ae8ce0f40a6cf2d7e8091ea4b5d2f)
![{\displaystyle (\alpha f)(i):=\alpha f(i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd36b60e043cd1533786b4b10535aa2088400934)
dla
Gdy elementy
są ciągami (skończonymi lub nie) to sprowadza się to do dodawania wyrazów ciągów:
![{\displaystyle (v_{1},v_{2},\dots )+(w_{1},w_{2},\dots )=(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a58a648e1a948a17d62254e0f7ffe5ec8c3e7d)
i do mnożenia ich przez skalar:
![{\displaystyle \alpha (v_{1},v_{2},\dots )=(\alpha v_{1},\alpha v_{2},\dots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10b579f2875c2b9e65afec75bafa5ef0af1c26f)
Wewnętrzna suma prosta
Definicja
Niech
będzie przestrzenią liniową. Jeżeli
są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni
takimi, że każdy wektor
można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy
![{\displaystyle v=v_{1}+v_{2}+\ldots +v_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b72d0f32d1509db60f9d0add9b79adc1dbb6e8)
gdzie
to mówimy, że
jest (wewnętrzną) sumą prostą podprzestrzeni liniowych
i piszemy
[1].
Uwagi
(1) Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni
to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.
(2) Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.
Izomorfizm zewnętrznej i wewnętrznej sumy prostej
Załóżmy, że przestrzeń liniowa
nad ciałem
jest przedstawiona w postaci wewnętrznej sumy prostej
![{\displaystyle V=V_{1}\oplus _{i}\ldots \oplus _{i}V_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352d7efd6c3bc077551d46b67f27c7b74ea52ae0)
Utwórzmy zewnętrzną sumę prostą podprzestrzeni
![{\displaystyle V_{1}\oplus _{e}\ldots \oplus _{e}V_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98ff927ef82d400664c00b62ee8b439b143ed28)
i
są izomorficzne. Oznacza to, że zewnętrzna i wewnętrzna suma prosta są w istocie tym samym i pozwala mówić po prostu o sumie prostej.
Dowód. Zdefiniujmy homomorfizm
Homomorfizm przestrzeni liniowych
i
nad ciałem
to funkcja
taka, że
![{\displaystyle \phi (\alpha u_{1}+\beta u_{2})=\alpha \phi (u_{1})+\beta \phi (u_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93a4551d1dcf74f9b4947b0a3e1839ec82de940)
dla dowolnych
Zdefiniujmy
wzorem
![{\displaystyle \varphi (v_{1},\dots ,v_{n}):=v_{1}+\ldots +v_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9033a8bf158205e22a6cd8fbcf0f584b2e5b66)
Mamy
![{\displaystyle \varphi (\alpha x+\beta y)=\alpha \varphi (x)+\beta \varphi (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f3e548079ac08e41289f34c53b78abbcec0aa4)
dla dowolnych
a zatem
jest homomorfizmem.
Zdefiniujmy funkcję
wzorem
![{\displaystyle \psi (v)=\psi (v_{1}+\ldots +v_{n}):=(v_{1},\dots ,v_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5215067846e60309863e26e007944483f7ba596f)
gdzie
to z definicji wewnętrznej sumy prostej jedyne takie przedstawienie wektora
że
Dla
i
utwórzmy sumę
Z definicji wewnętrznej sumy prostej istnieje tylko jedno przedstawienie
![{\displaystyle \alpha u+\beta v=w_{1}+\ldots +w_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2417f97df34b251d72c9c69250b2c707cf8f09b)
takie, że
![{\displaystyle \alpha u+\beta v=(\alpha u_{1}+\beta v_{1})+\ldots +(\alpha u_{n}+\beta v_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a096f6deb266027416a2cb17dd461e367d4ef64d)
jest takim przedstawieniem, a zatem jest jedyne. Wynika z tego, że
![{\displaystyle \psi (\alpha u+\beta v)=\psi ((\alpha u_{1}+\beta v_{1})+\ldots +(\alpha u_{n}+\beta v_{n}))=(\alpha u_{1}+\beta v_{1},\dots ,\alpha u_{n}+\beta v_{n})=\alpha \psi (u)+\beta \psi (v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c65b8c34f3618b6b5f1fcd34e001c5c2363d27)
A zatem
jest homomorfizmem.
Złożenia
i
są funkcjami identycznościowymi:
![{\displaystyle (\varphi \circ \psi )(v)=v,\quad (\psi \circ \varphi )(u)=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8031f942b3ef4e9beafa4bcc40d78cad661f3796)
dla
i
Oznacza to z definicji funkcji odwrotnej, że
i
są funkcjami wzajemnie odwrotnymi
![{\displaystyle \psi =\varphi ^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d3d80a8598e94ec981fbb5ab8dfd4adcf3066a)
a zatem
jest izomorfizmem
i
Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą
Jeżeli
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni
to zawsze istnieje taka podprzestrzeń
że
![{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569f3c82ffec4895bf15f9fd32bee75c284a2f71)
W algebrze liniowej, podprzestrzenie
i
nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.
Przykłady
Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji
Niech
oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech
będą zdefiniowane jako:
Dowolną funkcje
można przedstawić jako sumę
gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.
Dowód (niewprost)
Załóżmy, że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:
![{\displaystyle f=p_{1}+n_{1}=p_{2}+n_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b046c59618474c19f2782fc867bae7a13ab95)
lub równoważnie
![{\displaystyle n_{1}-n_{2}=p_{2}-p_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a651f7ca81c9a35e0ab474e0deb51fc85557456e)
Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że
oraz ![{\displaystyle n_{1}=n_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77677417c6ef71809340a4a049783364db34eda)
co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.
Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:
![{\displaystyle V=V_{p}\oplus V_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54386d2b607edab9e158ebe9f68174308aec6f6)
Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych
W przestrzeni liniowej
macierzy
każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.
![{\displaystyle A=A^{sym}+A^{antysym},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3458d63079d25c338f9f700911bc070eb1c26e)
gdzie:
– macierz transponowana macierzy ![{\displaystyle A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746026864cc5896e3e52443a1c917be2df9d8ea)
– macierz symetryczna,
– macierz antysymetryczna.
Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń
przestrzeni liniowej
macierzy, gdyż:
a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,
b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.
Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń
przestrzeni
Ponieważ każdą macierz przestrzeni
da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą
![{\displaystyle V=V^{sym}\oplus V^{antysym}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c3ea1e502909a2b76c8ed89ebf9acc0ff090a5)
Np. dla macierzy
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&4&6\\0&0&8\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68cc6d95f13dedef1c3657479c76340181674c17)
macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie
![{\displaystyle A^{antysym}={\begin{bmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2a120550fd3a24f1c27768b034315a411f3642)
Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej
Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz
gdzie
– wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.
Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa
Niech
oznacza przestrzeń wektorową
-wymiarową (ogólnie:
-wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:
- wybiera się bazę przestrzeni
(możliwych baz jest nieskończenie wiele), - zbiór wektorów
bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru
-elementowego mamy możliwe podziały bazy: ![{\displaystyle P_{1}=\{\{e_{1}\},\{e_{2},e_{3}\}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1ee118ad2c2467d3f55553f2d16ff34238a0bb)
![{\displaystyle P_{2}=\{\{e_{2}\},\{e_{3},e_{1}\}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c4b2c565e5eb62c8d756b0834b8c9f3eb01f50)
![{\displaystyle P_{3}=\{\{e_{3}\},\{e_{1},e_{2}\}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec62be3f085664632e732d6a9cbfbe90eecac2b3)
![{\displaystyle P_{4}=\{\{e_{1}\},\{e_{2}\},\{e_{2}\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b69a9e829ea2f082346c2c70c470e333f75c2e)
Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni
na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy
![{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{23},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a2957c8bbf1c48bc950e512951610885a02b46)
![{\displaystyle V=V_{2}\oplus V_{31},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a204f8d3e61fdb4eb188bca5366ee4d4e91e22)
![{\displaystyle V=V_{3}\oplus V_{12},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10b3db94b1721424b453c311e374da74a4b53e0)
![{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79162cdbdd7d373c607a428ff293a1ee37a0259)
Dla przestrzeni
-wymiarowej – przy dużej wartości
– możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.
Suma prosta w analizie funkcjonalnej
Osobny artykuł: Podprzestrzeń komplementarna.
W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni
i
danej przestrzeni liniowo-topologicznej
oznacza sumę prostą
![{\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0457ee95638ed94a4622cc5c220845964de1c64)
przy założeniu, że
i
są domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli
jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej
(np. przestrzeni Banacha
), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń
(tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy
jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni
jej dopełnienie ortogonalne
stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.
![{\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{1}^{\perp }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f1ad3fda4b8ce9670e9241fba2493b0d56bf5c)
Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.
Suma prosta odwzorowań
Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi
i
![{\displaystyle \varphi _{1}\colon V_{1}\to W_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5decbb6265cdfcf99cccf73e43ccf0dd9a0ea9)
![{\displaystyle \varphi _{2}\colon V_{2}\to W_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9daa8902d7374e3aa969ba33260fb2fa8daa7e77)
definiuje się ich sumę prostą
![{\displaystyle \varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\colon V_{1}\oplus V_{2}\to W_{1}\oplus W_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b33bb14765d3f169967ccc7cb9dbc96d790d69e)
wzorem
![{\displaystyle (\varphi _{1}\oplus \varphi _{2})(v_{1},v_{2})=(\varphi _{1}(v_{1}),\varphi _{2}(v_{2})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1679374e40197012ce7d4f8c069d8999f493ef94)
Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli
są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz
![{\displaystyle \varphi _{i}\colon V_{i}\to W_{i},\,i\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1e8882a046c50f9e12ea1078c16682f5f7fd5a)
to wzór
![{\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\right)((x_{i})_{i\in I})=(\varphi (x_{i}))_{i\in I},\,(x_{i})_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I}V_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/289746096ee08f7eb3357ed0da9102e7a93f0b24)
definiuje przekształcenie
![{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\colon \bigoplus _{i\in I}V_{i}\to \bigoplus _{i\in I}W_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cad855d6d102d355241c0be8b6b32ffd6aa0a38)
nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań
Suma prosta przestrzeni Banacha
Jeżeli
jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej
![{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c651b46aa11bd6d07e1366c47cc8ae90fafd40d)
nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni
a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór
jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.
c0-suma przestrzeni Banacha
Jeżeli
jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń
![{\displaystyle X\subseteq \prod _{n\in \mathbb {N} }X_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28decedf41916702a269d16d92e8f596b6ea03e6)
tych ciągów
dla których
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67006dd0ad8158e26fb94f70d7c778f7954e114a)
jest przestrzenią Banacha z normą
![{\displaystyle \|(x_{n})_{n}\|=\sup\{\|x_{n}\|_{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376ffd22d7fad8d852d616e6fc6bedefe5b0e9b0)
Podprzestrzeń
nazywana jest czasem
sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem
![{\displaystyle X=\left({\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }}X_{n}\right)_{c_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ede2da8ec091c8334d0ba681d61dd290c461ba)
Analogicznie definiuje się sumy typu
gdzie
jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.
lp-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta
Jeżeli
jest rodziną przestrzeni Banacha oraz
to podprzestrzeń
![{\displaystyle X\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d80e16c77d1ee122093b65fba80ea60e226f75)
złożona z tych elementów
dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów
jest niezerowych oraz szereg
![{\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff11a6c1f62f6bc00bd50e5d02b64e428a171e8b)
jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą
![{\displaystyle \|(x_{i})_{i}\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c11c3b876ef20fcdb74e105097fe7241db08f6)
Przestrzeń
nazywana jest
-sumą rodziny
i oznaczana symbolem
![{\displaystyle X=\left({\bigoplus _{i\in I}}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20ca276c28f4899188ee98ebf4ea44d982651d7)
Jeżeli
i
są dowolnymi liczbami z przedziału
to normy w
– i
-sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.
W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie
są przestrzeniami Hilberta, to ich
-suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks
w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów
i
w sumie prostej spełnia warunek
![{\displaystyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a31c141c31fd2408195d5606cadc8d7d9347c1)
Pojęcie
-sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha[2]. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day[3], natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego[4].
Suma prosta operatorów ograniczonych
Jeżeli
jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio,
i
tj.
![{\displaystyle \sup _{i\in I}\|T_{i}\|<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad93d780b459212ad7defc8f391781d4263e5ec)
to dla ustalonego
definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych
-sumę rodziny
tj. operator
![{\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\colon \left(\bigoplus _{i\in I}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}\to \left(\bigoplus _{i\in I}Y_{i}\right)_{\ell ^{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d802bb12ab4fb9f0858400496a1b880374c5ff2)
zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem
-sumy. W szczególności,
-suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz
![{\displaystyle \left\|\left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\right\|=\sup\{\|T_{i}\|\colon i\in I\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03ca5de0dde0d646969f895cc08f1d85a90e579)
Jeżeli
są przestrzeniami Hilberta, to
-sumę operatorów
nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Z.Z. Opial Z.Z., Algebra Wyższa, 1970 . Brak numerów stron w książce
- ↑ Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Warszawa: 1932, s. 182, seria: Monografie Matematyczne. Zbl 0005.20901.
- ↑ Mahlon M. Day. Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, Bulletin of the American Mathematical Society 47, s. 313–317.
- ↑ Shizuo Kakutani, Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, s. 523–537.
Bibliografia
- Zdzisław Opial: Algebra wyższa. PWN, 1970. Brak numerów stron w książce
- Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7. Brak numerów stron w książce
- Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce
- Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 126–127. ISBN 0-8176-4367-2.
- A.P. Robertson, W.J. Robertson: Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53: Cambridge University Press, 1964, s. 89–90.
Linki zewnętrzne
- [https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lundholm/clifford.pdf Clifford algebra, geometric algebra,
and applications]