Twierdzenie Riesza-Skorochoda – twierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.
Ustalenia wstępne
Ustalmy przestrzeń metryczną
i niech:
– σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni ![{\displaystyle X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df)
– przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni
w
z normą supremum.
Funkcjonał liniowy
nazywamy nieujemnym, gdy
dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji
Uwagi
- Każdy nieujemny funkcjonał liniowy
jest ciągły,
oraz ![{\displaystyle \|\varphi \|=\varphi (\mathbf {1} _{X}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f693f4a34d0aaf458c761eb26b0dadb93ffeca3c)
- Jeżeli
jest miarą skończoną, to funkcjonał
dany wzorem
![{\displaystyle \varphi (f)=\int \limits _{X}fd\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b22ec47aecf139db6bbb684da99ad384f4fd24)
jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń
jest przestrzenią polską, to spełniony jest:
Warunek Skorochoda
Dla każdego
istnieje taki zbiór zwarty
że
![{\displaystyle \forall _{f\in C(X)}[f|_{K}=0\Rightarrow |\varphi (f)|\leqslant \varepsilon \|f\|].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cd853635eaddd70a20d24e525654fc7718681c)
Twierdzenie Riesza-Skorochoda
Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy
spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara
że
dla ![{\displaystyle f\in C(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73c004c2fe0ee5f321ddaeb8751b25e09a17194)
Wniosek
Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego
istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów
że
dla ![{\displaystyle f\in C(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73c004c2fe0ee5f321ddaeb8751b25e09a17194)