Lagrangiana de Darwin

A lagrangiana de Darwin (nomeado em homenagem a Charles Galton Darwin, neto do naturalista) descreve a interação que conduz a v 2 / c 2 {\textstyle {v^{2}}/{c^{2}}} entre duas partículas carregadas no vácuo, em que c é a velocidade da luz. Foi derivado antes do advento da mecânica quântica e resultou de uma investigação mais detalhada das interações eletromagnéticas clássicas dos elétrons em um átomo. A partir do modelo de Bohr sabia-se que eles deveriam estar se movendo com velocidades próximas à da luz.[1]

A lagrangiana completa para duas partículas em interação é

L = L f + L int , {\displaystyle L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},}
onde a parte da partícula livre é
L f = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 8 c 2 m 1 v 1 4 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 8 c 2 m 2 v 2 4 , {\displaystyle L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{2}v_{2}^{4},}
A interação é descrita como
L int = L C + L D , {\displaystyle L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},}
onde a interação de Coulomb em unidades gaussianas é
L C = − q 1 q 2 r , {\displaystyle L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},}
enquanto a interação de Darwin é
L D = q 1 q 2 r 1 2 c 2 v 1 ⋅ [ 1 + r ^ r ^ ] ⋅ v 2 . {\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}
Aqui q1 e q2 são as cargas nas partículas 1 e 2, respectivamente, m1 e m2 são as massas das partículas, v1 e v2 são as velocidades das partículas, c é a velocidade da luz, r é o vetor entre as duas partículas, e r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} é o vetor unitário na direção de r.

A primeira parte é a expansão de Taylor da lagrangiana livre de duas partículas relativísticas de segunda ordem em v. O termo de interação de Darwin é devido a uma partícula reagindo ao campo magnético gerado pela outra partícula. Se termos de ordem superior em v/c forem retidos, então os graus de liberdade do campo devem ser levados em consideração, e a interação não pode mais ser considerada instantânea entre as partículas. Nesse caso, os efeitos de retardo devem ser levados em conta.[2]:

Derivação no vácuo

A interação relativística lagrangiana para uma partícula com carga q interagindo com um campo eletromagnético é[2]:

L int = − q Φ + q c u ⋅ A , {\displaystyle L_{\text{int}}=-q\Phi +{\frac {q}{c}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,}
onde u é a velocidade relativística da partícula. O primeiro termo à direita gera a interação de Coulomb. O segundo termo gera a interação de Darwin.

O vetor potencial in the calibre de Coulomb é descrito por[2]:242

∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − 4 π c J t {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{t}}
onde a corrente transversal Jt é a corrente solenoidal (ver decomposição de Helmholtz) gerado por uma segunda partícula. A divergência da corrente transversal é zero.

A corrente gerada pela segunda partícula é

J = q 2 v 2 δ ( r − r 2 ) , {\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta {\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right)},}
a qual tem uma transformada de Fourier
J ( k ) ≡ ∫ d 3 r exp ⁡ ( − i k ⋅ r ) J ( r ) = q 2 v 2 exp ⁡ ( − i k ⋅ r 2 ) . {\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}

A componente transversal da corrente é

J t ( k ) = q 2 [ 1 − k ^ k ^ ] ⋅ v 2 e − i k ⋅ r 2 . {\displaystyle \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=q_{2}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}.}

É facilmente verificado que

k ⋅ J t ( k ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )=0,}
o qual deve ser verdadeiro se a divergência da corrente transversal for zero. Vemos que J t ( k ) {\displaystyle \mathbf {J} _{t}(\mathbf {k} )} é a componente da corrente transformada de Fourier perpendicular a k.

Da equação do potencial vetorial, a transformada de Fourier do potencial vetorial é

A ( k ) = 4 π c q 2 k 2 [ 1 − k ^ k ^ ] ⋅ v 2 e − i k ⋅ r 2 {\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={\frac {4\pi }{c}}{\frac {q_{2}}{k^{2}}}\left[\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}}}
onde mantivemos apenas o termo de ordem mais baixa em v/c.

A transformada inversa de Fourier do potencial vetorial é

A ( r ) = ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 A ( k ) e i k ⋅ r 1 = q 2 2 c 1 r [ 1 + r ^ r ^ ] ⋅ v 2 {\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\;\mathbf {A} (\mathbf {k} )\;e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}}={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}
onde
r = r 1 − r 2 {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}

O termo da interação de Darwin na lagrangiana é então

L D = q 1 q 2 r 1 2 c 2 v 1 ⋅ [ 1 + r ^ r ^ ] ⋅ v 2 {\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}
onde novamente mantivemos apenas o termo de menor ordem em v/c.

Equações lagrangianas de movimento

A equação de movimento de uma das partículas é

d d t ∂ ∂ v 1 L ( r 1 , v 1 ) = ∇ 1 L ( r 1 , v 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} _{1}}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}
d p 1 d t = ∇ 1 L ( r 1 , v 1 ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}
onde p1 é o momento da partícula.

Partícula livre

A equação de movimento para uma partícula livre desprezando as interações entre as duas partículas é

d d t [ ( 1 + 1 2 v 1 2 c 2 ) m 1 v 1 ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0}
p 1 = ( 1 + 1 2 v 1 2 c 2 ) m 1 v 1 {\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}}

Partículas interagindo

Para partículas em interação, a equação de movimento torna-se

d d t [ ( 1 + 1 2 v 1 2 c 2 ) m 1 v 1 + q 1 c A ( r 1 ) ] = − ∇ q 1 q 2 r + ∇ [ q 1 q 2 r 1 2 c 2 v 1 ⋅ [ 1 + r ^ r ^ ] ⋅ v 2 ] {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {\frac {q_{1}q_{2}}{r}}+\nabla \left[{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]}
d p 1 d t = q 1 q 2 r 2 r ^ + q 1 q 2 r 2 1 2 c 2 { v 1 ( r ^ ⋅ v 2 ) + v 2 ( r ^ ⋅ v 1 ) − r ^ [ v 1 ⋅ ( 1 + 3 r ^ r ^ ) ⋅ v 2 ] } {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2c^{2}}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}}
p 1 = ( 1 + 1 2 v 1 2 c 2 ) m 1 v 1 + q 1 c A ( r 1 ) {\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{\frac {q_{1}}{c}}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)}
A ( r 1 ) = q 2 2 c 1 r [ 1 + r ^ r ^ ] ⋅ v 2 {\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={\frac {q_{2}}{2c}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}
r = r 1 − r 2 {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}

Hamiltoniana para duas partículas no vácuo

A hamiltoniana de Darwin para duas partículas no vácuo está relacionado à lagrangiana por uma transformada de Legendre, isto é,

H = p 1 ⋅ v 1 + p 2 ⋅ v 2 − L . {\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}

A hamiltoniana torna-se

H ( r 1 , p 1 , r 2 , p 2 ) = ( 1 − 1 4 p 1 2 m 1 2 c 2 ) p 1 2 2 m 1 + ( 1 − 1 4 p 2 2 m 2 2 c 2 ) p 2 2 2 m 2 + q 1 q 2 r − q 1 q 2 r 1 2 m 1 m 2 c 2 p 1 ⋅ [ 1 + r ^ r ^ ] ⋅ p 2 . {\displaystyle H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{1}^{2}}{2m_{1}}}\;+\;\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{2}^{2}}{m_{2}^{2}c^{2}}}\right){\frac {p_{2}^{2}}{2m_{2}}}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}\;-\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.}

Essa hamiltoniana fornece a energia de interação entre as duas partículas. Argumentou-se recentemente que, quando expressas em termos de velocidades de partículas, deveríamos simplesmente definir p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } no último termo e inverter seu sinal.[3]

Equações de movimento

As equações de movimento hamiltonianas são

v 1 = ∂ H ∂ p 1 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{1}}}}
e
d p 1 d t = − ∇ 1 H , {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}=-\nabla _{1}H,}
a qual resulta
v 1 = ( 1 − 1 2 p 1 2 m 1 2 c 2 ) p 1 m 1 − q 1 q 2 2 m 1 m 2 c 2 1 r [ 1 + r ^ r ^ ] ⋅ p 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {p_{1}^{2}}{m_{1}^{2}c^{2}}}\right){\frac {\mathbf {p} _{1}}{m_{1}}}-{\frac {q_{1}q_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}\left[\mathbf {1} +{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {p} _{2}}
e
d p 1 d t = q 1 q 2 r 2 r ^ + q 1 q 2 r 2 1 2 m 1 m 2 c 2 { p 1 ( r ^ ⋅ p 2 ) + p 2 ( r ^ ⋅ p 1 ) − r ^ [ p 1 ⋅ ( 1 + 3 r ^ r ^ ) ⋅ p 2 ] } {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\frac {1}{2m_{1}m_{2}c^{2}}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}}

Eletrodinâmica quântica

A estrutura da interação de Darwin também pode ser vista claramente em eletrodinâmica quântica e devido à troca de fótons na ordem mais baixa de teoria da perturbação. Quando o fóton tem quadrimomento pμ = ħkμ com vetor de onda kμ = (ω /c, k), seu propagador no calibre de Coulomb tem dois componentes.[4]

D 00 ( k ) = 1 k 2 {\displaystyle D_{00}(k)={1 \over \mathbf {k} ^{2}}}

resulta na interação de Coulomb entre duas partículas carregadas, enquanto

D i j ( k ) = 1 ω 2 − c 2 k 2 ( δ i j − k i k j k 2 ) {\displaystyle D_{ij}(k)={1 \over \omega ^{2}-c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\left(\delta _{ij}-{k_{i}k_{j} \over \mathbf {k} ^{2}}\right)}

descreve a troca de um fóton transversal. Tem um vetor de polarização e λ {\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }} e acopla-se a uma partícula com carga q {\displaystyle q} e trimomento p {\displaystyle \mathbf {p} } com uma força − q 4 π e λ ⋅ p / m . {\displaystyle -q{\sqrt {4\pi }}\,\mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {p} /m.} Dado que e λ ⋅ k = 0 {\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }\cdot \mathbf {k} =0} neste calibre, não importa se usamos o momento da partícula antes ou depois do fóton se acoplar a ela.

Na troca do fóton entre as duas partículas, pode-se ignorar a frequência ω {\displaystyle \omega } comparada com c k {\displaystyle c\mathbf {k} } no propagador trabalhando com a precisão em v 2 / c 2 {\displaystyle v^{2}/c^{2}} que é necessária aqui. As duas partes do propagador então resultam juntas a hamiltoniana efetiva

H i n t ( k ) = 4 π q 1 q 2 k 2 − 4 π q 1 q 2 m 1 m 2 c 2 k 2 p 1 ⋅ ( 1 − k ^ k ^ ) ⋅ p 2 {\displaystyle H_{int}(\mathbf {k} )={4\pi q_{1}q_{2} \over \mathbf {k} ^{2}}-{4\pi q_{1}q_{2} \over m_{1}m_{2}c^{2}\mathbf {k} ^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} -{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}}

por sua interação no espaço k. Isto é agora idêntico ao resultado clássico e não há vestígios dos efeitos quânticos usados nesta derivação.

Um cálculo semelhante pode ser feito quando o fóton se acopla a partículas de Dirac com spin s = 1/2 e usado para uma derivação da equação de Breit. Isso resulta o mesmo que a interação de Darwin mas também termos adicionais envolvendo os graus de liberdade do spin e dependendo da constante de Planck.[4]

Ver também

Referências

  1. ↑ C.G. Darwin, The Dynamical Motions of Charged Particles, Philosophical Magazine 39, 537-551 (1920).
  2. ↑ a b c Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics 3rd ed. [S.l.]: Wiley. ISBN 047130932X 
  3. ↑ K.T. McDonald, Darwin Energy Paradoxes, Princeton University (2019).
  4. ↑ a b V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Relativistic Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1971).