Objeto inicial

Na teoria das categorias, um objeto inicial de uma categoria ${\displaystyle C}$ é um objeto ${\displaystyle s\in C}$ tal que, para cada objeto ${\displaystyle x\in C}$, há exatamente um morfismo ${\displaystyle s\to x}$. Dualmente, um objeto terminal (ou final) de ${\displaystyle C}$ é um objeto ${\displaystyle t\in C}$ tal que, para cada objeto ${\displaystyle x\in C}$, há exatamente um morfismo ${\displaystyle x\to t}$. Um objeto zero é um objeto que é simultaneamente inicial e final.^[1]

Objetos iniciais (se existem na categoria) são únicos a menos de único isomorfismo; mais precisamente, se ${\displaystyle s,s'}$ são ambos iniciais, há únicos morfismos ${\displaystyle f:s\to s',\,g:s'\to s}$, e ${\displaystyle f\circ g=1_{s'},\,g\circ f=1_{s}}$ pela definição de objeto inicial.^[2] Dualmente, objetos terminais são únicos a menos de único isomorfismo.

Exemplos

• Na categoria ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$ dos conjuntos, o objeto inicial é o conjunto vazio (a função ${\displaystyle \emptyset \to X}$ é a função de gráfico vazio), e cada conjunto ${\displaystyle \{x\}}$ de um elemento é terminal.
• Na categoria ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ dos grupos, o grupo nulo é simultaneamente inicial e terminal, logo é um objeto zero.^[1]
• Conceitos da teoria das categorias, como functores representáveis, limites e colimites, podem ser expressos como objetos iniciais ou terminais numa categoria adequada.^[3]

Existência

O teorema de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se ${\displaystyle D}$ é uma categoria pequeno-completa e com conjuntos ${\displaystyle \hom }$ pequenos, ${\displaystyle D}$ tem objeto inicial se e só se satisfaz:

Existe conjunto pequeno ${\displaystyle I}$ e família ${\displaystyle \{k_{i}\}_{i\in I}}$ de objetos de ${\displaystyle D}$, tal que, para cada ${\displaystyle d\in D}$, há morfismo ${\displaystyle k_{i}\to d}$ para algum ${\displaystyle i\in I}$.^[4]

Demonstração

A parte "só se" segue da definição de objeto inicial. Reciprocamente, seja ${\displaystyle \{k_{i}\in D\}_{i\in I}}$ como acima. Como ${\displaystyle D}$ é pequeno-completa e ${\displaystyle I}$ é pequeno, há produto $${\displaystyle w=\prod _{i\in I}{k_{i}}}$$ em ${\displaystyle D}$. Já que ${\displaystyle \hom _{D}(w,w)}$ é pequeno, há equalizador ${\displaystyle e:v\to w}$ do conjunto de todos os morfismos ${\displaystyle w\to w}$. $${\displaystyle {\begin{array}{r c l c l}&&&\scriptstyle {f,g}\\u&{\xrightarrow {e'}}&v&\rightrightarrows &d\\{\scriptstyle {s}}\uparrow &&\downarrow \scriptstyle {e}&&\uparrow \\w&&w&{\xrightarrow {p_{i}}}&k_{i}\end{array}}}$$ Para cada ${\displaystyle d\in D}$, há então alguma seta ${\displaystyle v\to d}$, a saber, uma composição da forma ${\displaystyle v{\xrightarrow {e}}w{\xrightarrow {p_{i}}}k_{i}\to d}$. Para mostrar que ${\displaystyle v}$ é inicial, basta mostrar que quaisquer setas ${\displaystyle f,g:v\to d}$ coincidem. Considere o equalizador ${\displaystyle e':u\to v}$ de ${\displaystyle f,g}$. Há seta ${\displaystyle s:w\to k_{j}\to u}$, logo ${\displaystyle e\circ e'\circ s:w\to w}$. Já que ${\displaystyle e}$ é equalizador dos morfismos ${\displaystyle w\to w}$, $${\displaystyle (e\circ e'\circ s)\circ e=1_{w}\circ e=e\circ 1_{v}.}$$ Como equalizadores são monomorfismos, ${\displaystyle e'\circ s\circ e=1_{v}}$. Então, de ${\displaystyle f\circ e'=g\circ e'}$, $${\displaystyle f=f\circ e'\circ s\circ e=g\circ e'\circ s\circ g=g,}$$ como requerido.

O teorema especial de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se C é categoria pequeno-completa, com conjuntos hom pequenos, tem família cosseparadora T pequena e é tal que toda família de monomorfismos de mesmo contradomínio tem produto fibrado (noutras palavras, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então C tem objeto inicial.^[5]

Demonstração

Denote por q o produto dos objetos em T, e seja i → q o produto fibrado de todos os monomorfismos para q. Mostra-se que i é objeto inicial. Que T é cosseparador equivale a que, para cada c ∈ C, a seta $${\displaystyle f_{c}:c\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,}$$ com componentes ph : c → k ∘ pk ∘ fc = h é monomorfismo. Também há a seta $${\displaystyle g:\prod _{k\in T}k\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,}$$ com componentes ph : c → k ∘ pk ∘ g = pk. Forma-se o produto fibrado: $${\displaystyle {\begin{array}{c c l}r&\rightarrow &c\\\downarrow &&\downarrow f_{c}\\q&{\xrightarrow {g}}&\prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k.\end{array}}}$$ Como fc é monomorfismo, r → q também é monomorfismo; pela definição de i, há seta i → r, e, em particular, há seta i → r → c. Se houvesse mais de uma seta i → c, o equalizador entre elas seria um subobjeto próprio de i, contradizendo a definição de i. Portanto, há única seta i → c.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF) 

Referências

Bibliografia

• ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7 
• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.

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