Gyllene vinkeln

Den gyllene vinkeln är vinkeln på den mindre delen (orange) och är beroende av att de båda delarna förhåller sig enligt det gyllene snittet. Ψ≈137,5°

Den gyllene vinkeln (Ψ) är inom geometrin ett snitt ur en 360 graders cirkel, där förhållandet mellan de båda följer det gyllene snittet. Om den stora cirkelsektorn a och den mindre cirkelsektorn b divideras blir kvoten 1,618... = φ

Om a+b är omkretsen på cirkeln och den divideras med den större delen a, är det detsamma som den större delen a dividerat med den mindre delen b.

a + b a = a b . {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}.}


Den gyllene vinkeln, är bestämd av vinkeln på den mindre cirkelsektorn, och beräknas genom att dividera 360/2,618 som blir ungefär 137,508°.

Namnet kommer från vinkelns koppling till det gyllene snittet φ; Det exakta värdet på den gyllene vinkeln är

360 ( 1 − 1 φ ) = 360 ( 2 − φ ) = 360 φ 2 = 180 ( 3 − 5 )  grader {\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ grader}}}

eller

2 π ( 1 − 1 φ ) = 2 π ( 2 − φ ) = 2 π φ 2 = π ( 3 − 5 )  radianer {\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radianer}}}

Härledning

Det gyllene snittet är enligt definition ovan: φ = a/b

Låt nu ƒ vara snittet av båglängden hos cirkelskivan över den totala cirkelomkretsen. Det gyllene snittet kan därför inkorporeras i formeln enligt

f = b a + b = 1 1 + φ . {\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}

Men eftersom

1 + φ = φ 2 , {\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}

Så följer det att

f = 1 φ 2 {\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}

Detta är samma sak som att säga att φ 2 'antal gyllene vinklar' får plats i en cirkel.

Den fraktion av en cirkel som upptas av den gyllene vinkeln blir därmed

f ≈ 0.381966. {\displaystyle f\approx 0.381966.\,}

Den gyllene vinkeln g kan därefter approximeras i antalet grader enligt:

g ≈ 360 × 0.381966 ≈ 137.508 ∘ , {\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}

Eller i radianer:

g ≈ 2 π × 0.381966 ≈ 2.39996. {\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}

Gyllene vinkeln i naturen

Vinkeln mellan respektive blad i följd är satt till den hos gyllene vinkeln.

Den gyllene vinkeln spelar en viktig roll när det kommer till phyllotaxis; till exempel så är vinkeln mellan respektive utåtriktade blad hos en solros approximativt den gyllene vinkeln.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Golden angle, tidigare version.