Isometri

Se även: Isometrisk projektion
 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2016-08)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En isometri är inom matematiken en funktion från ett metriskt rum till ett annat, som uppfyller vissa krav.

En funktion f {\displaystyle f} från ett metriskt rum ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})} till ett annat metriskt rum ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} säges vara en isometri om den är avståndsbevarande, dvs

d X ( x , y ) = d Y ( f ( x ) , f ( y ) )   ∀ x , y ∈ D f {\displaystyle d_{X}(x,y)=d_{Y}(f(x),f(y))~\forall x,y\in D_{f}} .

En linjär avbildning från ett normerat rum till ett annat normerat rum, F : V → W {\displaystyle F:V\to W} , sägs vara en linjär isometri om den bevarar normen:

‖ F v ‖ W = ‖ v ‖ V {\displaystyle \|Fv\|_{W}=\|v\|_{V}}

då v ∈ V {\displaystyle v\in V} och ‖ ⋅ ‖ V {\displaystyle \|\cdot \|_{V}} och ‖ ⋅ ‖ W {\displaystyle \|\cdot \|_{W}} är normerna i V respektive W..

Exempel

I det Euklidiska planet utgörs alla isometrier av identitetsavbildningen, translationer, rotationer, speglingar och glidspeglingar. I detta fall gäller

| x − y | = | f ( x ) − f ( y ) |   ∀ x , y ∈ R 2 {\displaystyle |x-y|=|f(x)-f(y)|~\forall x,y\in \mathbb {R} ^{2}}

Allmänt representerar alla ortogonalmatriser och unitära matriser isometrier. Alla isometrier mellan ett vektorrum bildar den euklidiska gruppen. Alla linjära isometrier bildar ortogonalgruppen.


v • r
Linjär algebra
Grundläggande begrepp
Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet
Bild på euklidiska rummet
Vektoralgebra
Matriser
Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition
Multilinjär algebra
Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor
Konstruktioner
Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt
Numerik
Kategori Kategori