Klot

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-08) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Klotets volym kan beräknas med formeln^[1]

${\displaystyle V={4\pi r^{3} \over 3}}$

där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Mantelytan är^[1]

${\displaystyle A={4\pi r^{2}}}$

Härledning av volymformeln

En halvcirkel med radien r och centrum i origo motsvarar funktionen (se Pythagoras sats)

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},x\in [-r,r]}$

Motsvarande rotationskropp har volymen

${\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx}$

Termerna separeras

${\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}dx}$

och de primitiva funktionerna blir

${\displaystyle \pi r^{2}\left[x\right]_{-r}^{r}-\pi \left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}}$

Insättning av r och −r ger

${\displaystyle \pi (r^{3}-(-r^{3}))-\pi \left({\frac {r^{3}}{3}}-\left(-{\frac {r^{3}}{3}}\right)\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

Klot i analytisk geometri

Inom analytisk geometri beskrivs klotet i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leq r^{2}}$

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.

Referenser