Primideal

Ett primideal är ett ideal P ≠ R i en kommutativ ring R, sådant att:

a b ∈ P ⟹ a ∈ P ∨ b ∈ P {\displaystyle ab\in P\implies a\in P\lor b\in P}

för alla a och b i R.

Om ringen R inte är kommutativ är P ett primideal, om det är ett äkta ideal och om det för ideal A {\displaystyle A} och B {\displaystyle B} sådana att

A ⋅ B ⊆ P {\displaystyle A\cdot B\subseteq P}

gäller att antingen A ⊂ P {\displaystyle A\subset P} eller B ⊂ P {\displaystyle B\subset P} .

Samband mellan primideal och primelement

I en heltalsring H, finns en påtaglig relation mellan primideal och primelement.

Ett ideal skilt från nollidealet, P = {\displaystyle P=} { p n {\displaystyle pn\quad } {\displaystyle \quad } ; {\displaystyle ;} {\displaystyle \quad } n ∈ H {\displaystyle n\in H} }, är ett primideal om och endast om p {\displaystyle p} är ett primelement i H {\displaystyle H} .

Bevis: Med utgångspunkt ifrån att P är ett primideal och skilt från nollidealet följer direkt, att p ≠ 0 och att p ej är inverterbart. Om p|ab tillhör ab P, vilket medför att a eller b tillhör P. Detta är liktydigt med att p|a eller p|b och således att p är ett primelement.

Omvänt fås att om p är ett primelement så följer, eftersom p ≠ 0 och p ej är inverterbart, att P varken är lika med nollidealet eller H. Om ab tillhör P så är det liktydigt med att p|ab och härav följer att p|a eller p|b, det vill säga att a eller b tillhör P. Alltså är P ett primideal.

Exempel

  • I ringen av heltal, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , är ett primideal antingen nollidealet { 0 } {\displaystyle \{0\}} eller på formen p Z {\displaystyle p\mathbb {Z} } (alla multiplar av p), där p är ett primtal.
  • Ett maximalt ideal är ett primideal. Det omvända gäller dock inte.

Egenskaper

  • Om R är en kommutativ ring med etta och P är ett ideal i R så är P ett primideal om och endast om kvotringen R/P är ett integritetsområde.
  • Varje kommutativ ring med enhet har minst ett primideal, en direkt följd av Krulls sats.
  • Urbilden av ett primideal för en ringhomomorfi är ett primideal.

Källor

  • McCoy, N.H. Rings and Ideals, Carus Monograph Series, No. 8. Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1948.
  • Atiyah, Michael Francis; I.G. Macdonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley 
  • Lam, T.Y. (1991). A First Course in Noncommutative Rings. Springer Verlag. ISBN 0-387-97523-3