Ramanujans taufunktion

Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen τ : N → Z {\displaystyle \tau :\mathbb {N} \to \mathbb {Z} } definierad som

∑ n ≥ 1 τ ( n ) q n = q ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n ) 24 = η ( z ) 24 = Δ ( z ) , {\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}

där q = exp ⁡ ( 2 π i z ) {\displaystyle q=\exp(2\pi iz)} är så att ℑ z > 0 {\displaystyle \Im z>0} och η {\displaystyle \eta } är Dedekinds etafunktion.

Värden

De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell (talföljd A000594 i OEIS):

n {\displaystyle n} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} 1 −24 252 −1472 4830 −6048 −16744 84480 −113643 −115920 534612 −370944 −577738 401856 1217160 987136

Ramanujans förmodanden

Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

  • τ ( m n ) = τ ( m ) τ ( n ) {\displaystyle \tau (mn)=\tau (m)\tau (n)} om s g d ( m , n ) = 1 {\displaystyle sgd(m,n)=1} (det vill säga τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} är en multiplikativ funktion)
  • τ ( p r + 1 ) = τ ( p ) τ ( p r ) − p 11 τ ( p r − 1 ) {\displaystyle \tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^{r})-p^{11}\tau (p^{r-1})} för primtal p {\displaystyle p} och r > 0 {\displaystyle r>0} .
  • | τ ( p ) | ≤ 2 p 11 / 2 {\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2}} för alla primtal p {\displaystyle p} .

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

Kongruenser för taufunktionen

För k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } och n ∈ Z > 0 {\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}} , definiera σ k ( n ) {\textstyle \sigma _{k}(n)} som summan av k {\displaystyle k} :te potenserna av delarna av n {\displaystyle n} . Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av σ k ( n ) {\textstyle \sigma _{k}(n)} . Då gäller följande kongruenser:[1][förtydliga]

  1. τ ( n ) ≡ σ 11 ( n )   mod   2 11  för  n ≡ 1   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8} [2]
  2. τ ( n ) ≡ 1217 σ 11 ( n )   mod   2 13  för  n ≡ 3   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ för }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8} [2]
  3. τ ( n ) ≡ 1537 σ 11 ( n )   mod   2 12  för  n ≡ 5   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ för }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8} [2]
  4. τ ( n ) ≡ 705 σ 11 ( n )   mod   2 14  för  n ≡ 7   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ för }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8} [2]
  5. τ ( n ) ≡ n − 610 σ 1231 ( n )   mod   3 6  för  n ≡ 1   mod   3 {\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3} [3]
  6. τ ( n ) ≡ n − 610 σ 1231 ( n )   mod   3 7  för  n ≡ 2   mod   3 {\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ för }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3} [3]
  7. τ ( n ) ≡ n − 30 σ 71 ( n )   mod   5 3  för  n ≢ 0   mod   5 {\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ för }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5} [4]
  8. τ ( n ) ≡ n σ 9 ( n )   mod   7  för  n ≡ 0 , 1 , 2 , 4   mod   7 {\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ för }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7} [5]
  9. τ ( n ) ≡ n σ 9 ( n )   mod   7 2  för  n ≡ 3 , 5 , 6   mod   7 {\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ för }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7} [5]
  10. τ ( n ) ≡ σ 11 ( n )   mod   691. {\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.} [6]

För p ≠ 23 {\displaystyle p\neq 23} primtal gäller:[1][7]

  1. τ ( p ) ≡ 0   mod   23  om  ( p 23 ) = − 1 {\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ om }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}
  2. τ ( p ) ≡ σ 11 ( p )   mod   23 2  om  p  är av formen  a 2 + 23 b 2 {\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ om }}p{\text{ är av formen }}a^{2}+23b^{2}} [8]
  3. τ ( p ) ≡ − 1   mod   23  annars . {\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ annars}}.}

Förmodanden om τ(n)

  • Anta att f {\displaystyle f} är en heltalsnyform av vikt k {\displaystyle k} och att dess Fourierkoefficienter a ( n ) {\displaystyle a(n)} är heltal. Betrakta följande problem: om f {\displaystyle f} saknar komplex multiplikation, bevisa att a ( p ) ≠ 0 mod p {\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}} gäller för alla p {\displaystyle p} . De flesta primtalen borde ha denna egenskap, och sådana primtal kallas ordinära. Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer, som bestämmer a ( n ) mod p {\displaystyle a(n){\bmod {p}}} för n {\displaystyle n} och p {\displaystyle p} relativt prima, vet vi inte hur man skall räkna a ( p ) mod p {\displaystyle a(p){\bmod {p}}} . Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal p {\displaystyle p} så att a ( p ) = 0 {\displaystyle a(p)=0} , av vilket 0 mod p {\displaystyle 0{\bmod {p}}} följer. Man känner inte till exempel av icke-KM f {\displaystyle f} med vikt > 2 {\displaystyle >2} med a ( p ) ≠ 0 {\displaystyle a(p)\neq 0} mod p {\displaystyle p} för oändligt många primtal p {\displaystyle p} (även om det borde gälla för nästan alla p {\displaystyle p} ). Man känner inte heller till exempel där a ( p ) = 0 {\displaystyle a(p)=0} mod p {\displaystyle p} för oändligt många p {\displaystyle p} .
  • Lehmer (1947) förmodade att τ ( n ) ≠ 0 {\displaystyle \tau (n)\neq 0} för alla n {\displaystyle n} , vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan. Lehmer kontrollerade att den gäller för n < 214928639999 {\displaystyle n<214928639999} . Bosman (2007) har bevisat att förmodan gäller för alla n < 22798241520242687999 {\displaystyle n<22798241520242687999} .

    Referenser

    Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ramanujan tau function, 17 december 2013.

    Noter

    1. ^ [a b] Page 4 of Swinnerton-Dyer 1973.
    2. ^ [a b c d] Due to Kolberg 1962.
    3. ^ [a b] Due to Ashworth 1968.
    4. ^ Due to Lahivi
    5. ^ [a b] Due to D. H. Lehmer
    6. ^ Due to Ramanujan 1916.
    7. ^ Due to Wilton 1930.
    8. ^ Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5

    Källor

    • Apostol, T. M. (1997), ”Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory”, New York: Springer-Verlag 2nd ed. 
    • Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford) 
    • Kolberg, O. (1962), ”Congruences for Ramanujan's function τ(n)”, Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11) 
    • Lygeros, N. (2010), ”A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)”, Journal of Integer Sequences 13: Article 10.7.4, http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Lygeros/lygeros5.pdf 
    • Mordell, Louis J. (1917), ”On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 19: 117–124, http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 
    • Newman, M. (1972), ”A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067”, National Bureau of Standards. 
    • Rankin, Robert A. (1988), ”Ramanujan's tau-function and its generalizations”, i Andrews, George E., Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Academic Press, s. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, http://books.google.com/books?id=GJUEAQAAIAAJ 
    • Ramanujan, Srinivasa (1916), ”On certain arithmetical functions”, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (9): 159–184 
    • Serre, J-P. (1968), ”Une interprétation relative à la fonction τ {\displaystyle \tau } de Ramanujan”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 14 
    • Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), ”On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms”, i Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III, Lecture Notes in Mathematics, "350", s. 1–55, ISBN 978-3-540-06483-1, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-37802-0_1 
    • Wilton, J. R. (1930), ”Congruence properties of Ramanujan's function τ(n)”, Proceedings of the London Mathematical Society 31: 1–10, doi:10.1112/plms/s2-31.1.1