Riemann–Siegels thetafunktion

Inom matematiken är Riemann–Siegels thetafunktion en speciell funktion definierad med hjälp av gammafunktionen som

${\displaystyle \theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t}$

för reella värden på t. Här väjs argumentet så att man får en kontinuerlig funktion och så att ${\displaystyle \theta (0)=0}$.

Den har den asymptotiska expansionen

${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots }$

som inte konvergerar, men vars första termer ger en god approximation för ${\displaystyle t\gg 1}$. Dess Taylorserie runt 0 konvergerar för ${\displaystyle |t|<1/2}$ och ges av

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

där ${\displaystyle \psi ^{(2k)}}$ betecknar polygammafunktionen av ordning ${\displaystyle 2k}$. Riemann–Siegels thetafunktion är viktig i teorin av Riemanns zetafunktion eftersom den kan rotera zetafunktionen så att den blir den reellvärda Z-funktionen vid den kritiska linjen ${\displaystyle s=1/2+it}$.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Riemann–Siegel theta function, 18 maj 2014.

• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Gram, J. P. (1903), ”Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann”, Acta Mathematica 27 (1): 289–304, doi:10.1007/BF02421310 

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Riemann-Siegel Functions", MathWorld. (engelska)
• Wolfram Research – Riemann-Siegel Theta function (innehåller funktionens kurva och värden)