Rotkriteriet

Rotkriteriet är en matematisk sats inom matematisk analys som ger ett villkor för att en serie ska konvergera.

Låt ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$ vara en talföljd. Då säger rotkriteriet att serien

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

är absolutkonvergent, och därmed konvergent, om

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}\right|^{\frac {1}{k}}<1}$

och att serien är divergent om

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}\right|^{\frac {1}{k}}>1}$.

Notera att satsen inte säger något om fallet

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}\right|^{\frac {1}{k}}=1}$.

Rotkriteriets betydelse för studiet av en potensseries ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ konvergens inses genom att

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}x^{k}\right|^{\frac {1}{k}}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left|a_{k}^{\frac {1}{k}}x\right|}$,

så potensseriens konvergens avgörs för alla ${\displaystyle x}$ där gränsvärdet ej är ett. Det går att visa att rotkriteriet är ett starkare resultat än kvotkriteriet.

Se även

• Konvergensradie