Weierstrassfunktionen

Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass 1872 under sin tid som professor i Berlin.^[1] Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen

${\displaystyle W(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\cos(b^{k}\pi x)}$

där 0 < a < 1 och ab > 1 + 3π/2 och b är ett udda heltal större än 1.^[2]

Historia

Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade emellertid skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, som dock aldrig publicerades och därför inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen.^[2] Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.

Bevis av kontinuitet

Eftersom

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a^{k}={\frac {1}{1-a}}}$

och

${\displaystyle \left|a^{k}\cos(b^{k}\pi x)\right|\leq a^{k}}$

kommer funktionen att vara kontinuerlig på hela ℝ enligt Weierstrass majorantsats.^[2]

Bevis av icke-deriverbarhet

Bevisidé

Beviset, utförd enligt^[2], bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att

${\displaystyle {\frac {W(x+h)-W(x)}{h}}\neq {\frac {W(x-h)-W(x)}{-h}}}$

Börja med att låta x₀ ∈ ℝ och m ∈ ℕ vara två godtyckliga tal.

Välj ${\displaystyle \alpha _{m}\in \mathbb {Z} }$ så att ${\displaystyle b^{m}x_{0}-\alpha \in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$

och sätt ${\displaystyle x_{m+1}=b^{m}x_{0}-\alpha _{m}\Leftrightarrow x_{0}={\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}}$

${\displaystyle y_{m}={\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}}}$ och ${\displaystyle z_{m}={\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}}}$.

För att visa att y_m < 0 < z_m görs följande beräkningar:

${\displaystyle y_{m}-x_{0}={\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}}-{\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}={\frac {-1-x_{m+1}}{b^{m}}}=-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}}$

${\displaystyle z_{m}-x_{0}={\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}}-{\frac {x_{m+1}+\alpha _{m}}{b^{m}}}={\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}}$

vilket ger olikheten

${\displaystyle y_{m}-x_{0}=-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}<0<{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}=z_{m}-x_{0}}$

varför y_m < 0 < z_m.

Samtidigt fås att

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}}=0}$

dvs y_m → 0 från vänster då m → ∞ och

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}=0}$

dvs z_m → 0 från höger då m → ∞ efter b > 1.

Uppskattning av vänsterderivatan

Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i S₁ och S₂ enligt

${\displaystyle {\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\right)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi y_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=S_{1}+S_{2}}$

Där alltså S₁ är summan av kvoterna från n = 0 till n = m - 1 och S₂ är summan av kvoterna från n = m till oändligheten. S₁ och S₂ behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S₁ uppåt och S₂ nedåt.

Uppskattning av S₁

S₁ skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln ${\displaystyle \cos(\alpha )-\cos(\beta )=-2\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})}$

samt det faktum att ${\displaystyle \left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\leq 1}$.

${\displaystyle \left|S_{1}\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi y_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\right)\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-(ab)^{n}{\frac {1}{b^{n}(y_{m}-x_{0})}}\sin \left({\frac {b^{n}\pi y_{m}+b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\sin \left({\frac {b^{n}\pi y_{m}-b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\right)\right|}$

${\displaystyle =\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-\pi (ab)^{n}\sin \left({\frac {b^{n}\pi (y_{m}+x_{0})}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {b^{n}\pi (y_{m}-x_{0})}{2}}\right)}{\frac {b^{n}\pi (y_{m}-x_{0})}{2}}}\right)\right|\leq \sum _{n=0}^{m-1}\pi (ab)^{n}=\pi {\frac {(ab)^{m}-1}{ab-1}}\leq \pi {\frac {(ab)^{m}}{ab-1}}}$

Uppskattning av S₂

S₂ kan, då b är ett udda heltal och a_m ∈ ℤ skrivas om enligt

${\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi y_{m})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}-1}{b^{m}}})=\cos(b^{n}(\alpha _{m}-1)\pi )}$

och

${\displaystyle =((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}-1}=(-1)^{\alpha _{m}-1}=(-1)^{\alpha _{m}}(-1)=-(-1)^{\alpha _{m}}}$

vilket ger

${\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi x_{0})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}+x_{m+1}}{b^{m}}}=\cos(b^{n}\pi (\alpha _{m}+x_{m+1}))}$

${\displaystyle =\cos \left(b^{n}\pi \alpha _{m}\right)\cos(b^{n}\pi x_{m+1})-\sin(b^{n}\pi \alpha _{m})\sin(b^{n}\pi x_{m+1})}$

${\displaystyle =((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})-0\cdot \sin(b^{n}\pi x_{m+1}}$

${\displaystyle =(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}$.

Vi får alltså att

${\displaystyle S_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi y_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{y_{m}-x_{0}}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m}\cdot a^{n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{-{\frac {1+x_{m+1}}{b^{m}}}}}\right)=(ab)^{m}(-1)^{\alpha _{m}}\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}}$.

I och med att ${\displaystyle x_{m+1}\in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$ och ${\displaystyle \cos(b^{n}\pi x_{m+1})\geq -1}$

är alla termer positiva vilket ger att

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}\geq {\frac {1+\cos(\pi x_{m+1})}{1+x_{m+1}}}\geq {\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{3}}}$ .

Resultat

Uppskattningarna av S₁ och S₂ ger att det existerar ett ε₁ ∈ [-1,1] och η₁ > 1 så att

${\displaystyle {\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}{\frac {2}{3}}+(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}}$

${\displaystyle (-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)}$.

Uppskattning av högerderivatan

Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt

${\displaystyle {\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi z_{0})}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\right)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi z_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=S'_{1}+S'_{2}}$

Uppskattning av S’₁

S’₁ skrivs om på samma sätt som S₁.

${\displaystyle \left|S'_{1}\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left((ab)^{n}{\frac {\cos(b^{n}\pi z_{m})-\cos(b^{n}\pi x_{0})}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\right)\right|=\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-(ab)^{n}{\frac {1}{b^{n}(z_{m}-x_{0})}}\sin \left({\frac {b^{n}\pi z_{m}+b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\sin \left({\frac {b^{n}\pi z_{m}-b^{n}\pi x_{0}}{2}}\right)\right)\right|}$

${\displaystyle =\left|\sum _{n=0}^{m-1}\left(-\pi (ab)^{n}\sin \left({\frac {b^{n}\pi (z_{m}+x_{0})}{2}}\right){\frac {\sin \left({\frac {b^{n}\pi (z_{m}-x_{0})}{2}}\right)}{\frac {b^{n}\pi (z_{m}-x_{0})}{2}}}\right)\right|\leq \sum _{n=0}^{m-1}\pi (ab)^{n}=\pi {\frac {(ab)^{m}-1}{ab-1}}\leq \pi {\frac {(ab)^{m}}{ab-1}}}$

Uppskattning av S’₂

S’₂ kan uppskattas på samma sätt som S₂ enligt nedan.

${\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi z_{m})=\cos(b^{m+n}\pi {\frac {\alpha _{m}+1}{b^{m}}})=\cos(b^{n}(\alpha _{m}+1)\pi )}$

${\displaystyle =((-1)^{b^{n}})^{\alpha _{m}+1}=(-1)^{\alpha _{m}+1}=-(-1)^{\alpha _{m}}}$

Från beräkningen av S₂ fås även att

${\displaystyle \cos(b^{m+n}\pi x_{0})=(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}$

vilket ger att

${\displaystyle S'_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {\cos(b^{m+n}\pi z_{m})-\cos(b^{m+n}\pi x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m+n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{z_{m}-x_{0}}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(a^{m}\cdot a^{n}{\frac {-(-1)^{\alpha _{m}}-(-1)^{\alpha _{m}}\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{-{\frac {1-x_{m+1}}{b^{m}}}}}\right)=-(ab)^{m}(-1)^{\alpha _{m}}\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}}$.

I och med att ${\displaystyle x_{m+1}\in \left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$ och ${\displaystyle \cos(b^{n}\pi x_{m+1})\geq -1}$

är alla termer positiva vilket ger att

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+\cos(b^{n}\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}\geq {\frac {1+\cos(\pi x_{m+1})}{1-x_{m+1}}}\geq {\frac {1}{1-\left(-{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2}{3}}}$.

Resultat

Uppskattningarna av S’₁ och S’₂ ger att det existerar ett ε₁ ∈ [-1,1] och η₁ > 1 så att

${\displaystyle {\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=-(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)}$

Slutsats

Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:

${\displaystyle {\frac {W(y_{m})-W(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}=(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {W(z_{m})-W(x_{0})}{z_{m}-x_{0}}}=-(-1)^{\alpha _{m}}(ab)^{m}\eta _{1}\left({\frac {2}{3}}+\epsilon _{1}{\frac {\pi }{ab-1}}\right)}$

Detta tillsammans med att

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(ab)^{m}=\infty }$

ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.

Noter