Binom açılımı

Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin cebirsel açılımıdır. Teoreme göre, (x + y)n formatında yazılmış bir polinom, b,c ≥ {\displaystyle \geq } 0, b +c = n, axbyc formatındaki terimlerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu ifadede b,c,n ∈ {\displaystyle \in } N, b ≥ {\displaystyle \geq } 0, c ≥ {\displaystyle \geq } 0, b+c=n, a> 0 koşulları sağlanmalıdır.

a katsayısı binom katsayısı olarak da bilinir. Verilen n ve b değerlerine göre değişiklik gösteren bu katsayı Pascal üçgeninden elde edilebilir. Bu katsayı aynı zamanda kombinasyonla ( n b ) {\displaystyle {\binom {n}{b}}} veya ( n c ) {\displaystyle {\binom {n}{c}}} şeklinde ifade edildiğinde ise n sayılı bir kümeden seçilen b elemanın kombinasyonunun sayısını gösterir.

Tarihçe

Binom teoreminin bazı özel formları MÖ 4. yüzyılda Yunan matematikçi Öklid'in üs 2 iken binom teoreminden bahsettiğinden beri bilinmektedir. Hindistanda ise kübik üsler için binom teoreminin bilindiğine dair bazı kanıtlar bulunmaktadır.[1][2]

Hint matematikçiler aynı zamanda binom katsayısını kombinasyonla ifade etmeye de çalışmışlardır. Bu yaklaşımdan ilk kez Hint fizikçi Pingala'nın Chandaḥśāstra adlı eserinde görülmüş ve çözümü için metot gösterilmiştir.[3] Halayudha 10. yüzyılda bunu bugün Pascal üçgeni olarak bilinen yöntemi kullanarak açıklar. Hint matematikçilerin 6. yüzyıldan itibaren bunu bir katsayı olarak ifade ettikleri tahmin edilmektedir ve bunun ( n ! ( n − k ) ! k ! ) {\displaystyle \left({\frac {n!}{(n-k)!k!}}\right)} şeklinde yazıldığına 12. yüzyılda Bhāskara'nın yazdığı Lilavati'de rastlanır.[4]

Temel binom açılımı

n bir doğal sayı iken,

( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}} ( s i g m a ) {\displaystyle (sigma)}

Burada ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} , n {\displaystyle n} 'nin k {\displaystyle k} 'li kombinasyonudur.

( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}

Genelleştirilmiş binom açılımı

Kombinasyon tanımı gerçel ve karmaşık sayıları kapsayacak şekilde genelleştirildiği takdirde;

( r k ) = 1 k ! ∏ n = 0 k − 1 ( r − n ) = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − k + 1 ) k ! {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}}

n {\displaystyle n} 'in bir doğal sayı olma şartı ortadan kalkar.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". Wolfram MathWorld.
  2. ^ Coolidge, J. L. (1949). "The Story of the Binomial Theorem". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. JSTOR 2305028.
  3. ^ Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics. Springer.
  4. ^ Biggs, N. L. (1979). "The roots of combinatorics". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin